头胎为女孩 头胎为男孩 合计 60 200 （2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在头胎生女孩家庭中抽取了5户，进一步了解情况，在抽取的5户中再随机抽取3户，求这3户中恰好有2户生二孩的概率. 附：
P?K2?k? 0.15 2.072 0.05 3.841 0.01 6.635 0.001 10.828 k 2n(ad?bc)2K?（其中n?a?b?c?d）.
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)【解析】（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为200?0.5?100. 因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为200?0.525?105.
2?2列联表如下：
头胎为女孩 头胎为男孩 合计 生二孩 60 45 105 不生二孩 40 55 95 合计 100 10 200 200(60?55?45?40)2600K???4.511?3.841，
105?95?100?1001332故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关. （2）在抽取的200户家庭的样本中，
按照分层抽样的方法在头胎生女孩的家庭中抽取了5户，则这5户家庭中，生二胎的户数为3，分别记为A,B,C，不生二孩的户数为2，分别记为a,b.从这5户家庭中随机抽取3户有
(A,B,C)，(A,B,a)，
(A,B,b)，(B,C,a)，(B,C,b)，(A,C,a)，(A,C,b)，(A,a,b)，(B,a,b)，(C,a,b)，
共10种情况，
其中恰好有2户生二孩的有(A,B,a),(A,B,b),(B,C,a),(B,C,b),(A,C,a),(A,C,b)，故6种情况，故所求概率为
63?. 1052220．（12分）如图，设抛物线C1x?y与C2:y?2px?p?0?的公共点M的横坐标为
t?t?0?，过M且与C1相切的直线交C2于另一点A，过M且与C2相切的直线交C1于另
一点B，记S为?MBA的面积.
（Ⅰ）求p的值（用t表示）； （Ⅱ）若S??,2?，求t的取值范围.
4注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.
2【解析】（Ⅰ）因点M在抛物线C1:x?y上,故Mt,t?1??????t?0?，又点M在抛物线C22：
y?2px?p?0?上,故?t222?t3?2pt,则p?
22?y?k(x?t)?t,2（Ⅱ）设点A?x1,y1?,直线MA的方程为y?k?x?t??t，联立方程组?2消
x?y,?去y,得x2?kx?kt?t2?0，则??k?4kt?t2?2???k?2t?2?0，因此k=2t，即直线
2MA的方程为y?2tx?t
y1?t2y1?t2t3?tt2?k??2??2tt22则直线MA的斜率，从而y1??,即A?,??，同y1x1?ty1?t?t2?42?3t?tt2?tt2理,直线MB的方程为y?x?,点B??,?，因此
22?24?2?tt2?tt2t3tt2?t?MB?1?????t?1?，点A?,??到直线MB：x?y??0的距
22224?42??2?离d?tt?t2?t2??????24?2?2?t????1?2?2?9t28，故?MBA的面积2t?149t23113tt227t38?1?27tS?MBd??1???S?,2?，即，即，因为S??2224324t2??32?14?24?127t3t?,?. ，解得??2?3?3?43221．（12分）已知函数f?x??（Ⅰ）讨论f?x?的单调性；
（Ⅱ）若f?x?存在极值，求所有极值之和的取值范围.
121x?2x?alnx，a?.
e2ax2?2x?a. 【解析】（Ⅰ）定义域：?0,???，f'?x??x?2??xx①当a?1时，f'?x??0，f?x?在?0,???单调递增； ②当
1?a?1时，令f?x??0，则f?x?在0,1?1?a，1?1?a,??x?1?1?a，e????单调递增，在1?1?a,1?1?a单调递减. （Ⅱ）由（I）知，当a?1是，f?x?没有极值点.当别记为x1,x2，则x1?x2?2，x1x2?a.
??1?a?1时，f?x?有两个极值点，分ef??x1??f?x2??1212x1?2x1?alnx1?x2?2x2?alnx2 221?2x1?x2??2x1x2??2?x1?x2??alnx1x2，又x1?x2?2，x1x2?a，所以??2?f?x1??f?x2??1?1??4?2a??4?alna?alna?a?2，且a??e,1?，设2???1?g?a??alna?a?2，g'?a??lna?0，∴g?a?在?,1?单调递减.
?e?2?1?111g?a?max?g???ln??2???2，g?a?min?g?1???3.所以所有极值之和的取
e?e?eee值范围为??3,???2??2?. e? (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
2222．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1:x?y?2y，以O为极点，x轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为???????????. 242?sin?cos??cos??1（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）设点M??,??在曲线C2上，直线OM交曲线C1于点N，求OM?ON的最小值.
?x2?y2??2【解析】（1）将?代入x2?y2?2y得，??2sin?，所以曲线C1的极坐标方
?y??sin?程为??2sin?.
曲线C2的方程可化为?sin?cos???cos即xy?x?1?x?0?，得y?x?2222????????1????,??，
42????11所以C2的直角坐标方程为y?x??x?0?； ?x?0?，
xx（2）由（1）及题设条件知，OM?1sin?cos??cos?2，ON?2sin?，其中
???????,?， 42??22????4sin2?4tan2???所以OM?ON?，令，因为t?tan??1??,?，2?42?sin?cosa?cos?tan??1所以tan??1，所以t?0，所以
4?t?1?1?1?当且仅当t?1，即tan??2，OM?ON??4?t???8?4?2t??8?16，
tt?t?222???????,?时等号成立.所以OM?ON的最小值为4. 42??23. （10分）已知函数f(x)?|x?2|?|x?3|. （1）解不等式f(x)?3x?2；
（2）若函数f(x)最小值为M，且2a?3b?M(a?0,b?0)，求【解析】（1）当x??2时，?x?2?x?3?3x?2，即x?13?的最小值. 2a?1b?13，无解；当?2?x?3时，577即?x，得?x?3；当x?3时，即x?1，x?2?x?3?3x?2，x?2?x?3?3x?2，33得x?3.故所求不等式的解集为?,???.
（2）因为f(x)?|x?2|?|x?3|?|(x?2)?(x?3)|?5，所以2a?3b?5(a?0,b?0)，则2a?1?3(b?1)?9，
?7?3??131?13?1?3(b?1)3(2a?1)?16????[2a?1?3(b?1)]?10??????92a?1b?19?2a?1b?1?9?2a?1b?1?
?2a?1?b?1,?a?5,??13?168当且仅当?2a?3b?5,即?时取等号.故的最小值为 ?92a?1b?1?b?5?a?0,b?0,??4?