泛函分析习题答案
第二章 度量空间
作业题答案提示 1、
试问在R上，??x,y???x?y?2能定义度量吗？
答：不能，因为三角不等式不成立。如取则有??x,y??4,而??x,z??1，??z,x??1 2、
试证明：（1）??x,y??x?y;(2)??x,y??12
x?y1?x?y在R上都定
义了度量。
证：（1）仅证明三角不等式。注意到
11??x?y?x?z?z?y??x?z2?z?y2???2
故有x?y?x?z?z?y
121212 （2）仅证明三角不等式 易证函数??x?? 所
a?1?a?b??b?1?x在R?上是单调增加的， 1?x以
a?a?有
?b1?b??a?b????a?b?,
b从而有
a1ab 令?x,y,z?R,令a?z?x,b?y?z 即
2-1
y?x1?y?x?z?x1?z?x?y?z1?y?z
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4.试证明在C?a,b?上，?(x,y)??ax(t)?y(t)dt(2.3.12)
1b定义了度量。
证：（1）?(x,y)?0?x(t)?y(t)?0（因为x,y是连续函数） ?(x,y)?0及?(x,y)??(y,x)显然成立。
(2)?(x,y)??x(t)?y(t)dtab???x(t)?z(t)dt?z(t)?y(t)?dtba
??x(t)?z(t)dt??z(t)?y(t)dtaabb??(x,z)??(z,y)
5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明
n?n???xi??n?xii?1?i?1?222
2nnn?n?22证：??xi???xi??1?n?xii?1i?1i?1?i?1?
8.试证明下列各式都在度量空间?R1,?1?和?R1,R2?的Descartes积
R?R1?R2上定义了度量
~~?(?2??2)1/2;(3)?~?max??,?? (1)???1??2;(2)?1212证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设x?(x1,x2)，y?(y1,y2)?R1?R2，则
2-2
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?(x,y)?[?(x1,y1)??(x2,y2)]?2122121222222?????(x,z)??(z,y)??(x,z)??(z2,y2)?1111112222?????2?????(x1,z1)??(z1,y1)??????(x2,z2)??(z2,y2)???(x,z)???(z,y)??212112222212
111?n?nn222??????2??i??i?????i2?????i2???????i?1??i?1????i?1?????(x,y)?max{?1(x1,y1),?2(x2,y2)} （3）??max{?1(x1,z1)??1(z1,y1),?2(x2,z2)??2(x2,z2)}?max[?1(x1,z1)??1(z1,y1)]?max[?2(x2,z2)??2(x2,z2)]
???(x,z)???(z,y)??
9、试问在C[a,b]上的B(x0;1)是什么？
C[a,b]上图像以x0为中心铅直高为
2的开带中的连续函数的集
合。
10、试考虑C[0,2?]并确定使得y?B(x,r)的最小r，其中
x?sint,y?cost。
?(x,y)?supsint?cost?supt?[0,2?]t?[0,2?]2sin(t?)?2 4?2-3