第11章 热力学基本原理
11.1 一系统由如图所示的状态a沿abc到达c，有350J热量传入系统，而系统对外做功126J．
（1）经adc，系统对外做功42J，问系统吸热多少？
（2）当系统由状态c沿曲线ac回到状态a时，外界对系统做功为84J，问系统是吸热还是放热，在这一过程中系统与外界之间的传递的热量为多少？
p b c d 图11.1
O a V 解：（1）当系统由状态a沿abc到达c时，根据热力学第一定律，吸收的热量Q和对外所做的功A的关系是Q = ΔE + A，
其中ΔE是内能的增量．Q和A是过程量，也就是与系统经历的过程有关，而ΔE是状态量，与系统经历的过程无关．
当系统沿adc路径变化时，可得Q1 = ΔE1 + A1， 这两个过程的内能的变化是相同的，即ΔE1 = ΔE，
将两个热量公式相减可得系统吸收的热量为Q1 = Q + A1 - A = 266(J)． （2）当系统由状态c沿曲线ac回到状态a时，可得Q2 = ΔE2 + A2， 其中，ΔE2 = -ΔE，A2 = -84(J)，可得Q2 = -(Q – A) + A2 = -308(J)， 可见：系统放射热量，传递热量的大小为308J．
p/Pa 11.2 1mol氧气由状态1变化到状态2，所经历的过程如图，一次
5m 沿1→m→2路径，另一次沿1→2直线路径．试分别求出这两个2×10 1 过程中系统吸收热量Q、对外界所做的功A以及内能的变化E2 -
1×105 2 E1．
V/m3 O 解：根据理想气体状态方程pV = RT，可得气体在状态1和2的温1×10-2 5×10-2 度分别为T1 = p1V1/R和T2 = p2V2． 图11.2
氧气是双原子气体，自由度i = 5，由于内能是状态量，所以其状态从1到2不论从经过什么路径，内能的变化都是?E?V2iiR(T2?T1)?(p2V2?p1V1)= 7.5×103(J)． 22系统状态从1→m的变化是等压变化，对外所做的功为
A??pdV?p(V2?V1)= 8.0×103(J)．
V1系统状态从m→2的变化是等容变化，对外不做功．因此系统状态沿1→m→2路径变化时，
对外做功为8.0×103J；吸收的热量为
Q = ΔE + A = 1.55×104(J)．
系统状态直接从1→2的变化时所做的功就是直线下的面积，即
吸收的热量为Q = ΔE + A = 1.35×104(J)．
11.3 1mol范氏气体，通过准静态等温过程，体积由V1膨胀至V2，求气体在此过程中所做的功？
解：1mol范氏气体的方程为(p?1A?(p2?p1)(V2?V1)= 6.0×103(J)．
2a)(v?b)?RT， v2通过准静态等温过程，体积由V1膨胀至V2时气体所做的功为
A??pdv??V1V2V2V1RTaa(?2)dv?RTln(v?b)?vv?bvV2?RTlnV1V2?b11?a(?)． V1?bV2V1
11.4 1mol氢在压强为1.013×105Pa，温度为20℃时的体积为V0，今使其经以下两种过程达同一状态：
（1）先保持体积不变，加热使其温度升高到80℃，然后令其作等温膨胀，体积变为原体积的2倍；
（2）先使其作等温膨胀至原体积的2倍，然后保持体积不变，升温至80℃．
试分别计算以上两过程中吸收的热量，气体所做的功和内能增量．将上述两过程画在同一p-V图上并说明所得结果．
解：氢气是双原子气体，自由度i = 5，由于内能是状态量，所以不论从经过什么路径从初态到终态，内能的增量都是
p T2 T1 O V0 V 2V0 ?E?iR(T2?T1)= 1.2465×103(J)． 2（1）气体先做等容变化时，对外不做功，而做等温变化时，对外所做的功为
A2??pdV?RT2?V1V2V2V1所吸收的热量为Q2 = ΔE + A2 = 3.2798×103(J)． （2）气体先做等温变化时，对外所做的功为
1dV?RT2ln2= 2.0333×103(J)， VA1??pdV?RT1?V1V2V2V11dV?RT1ln2= 1.6877×103(J)， V所吸收的热量为Q1 = ΔE + A1 = 2.9242×103(J)．
如图所示，气体在高温下做等温膨胀时，吸收的热量多些，曲线下的面积也大些．
11.5 为了测定气体的γ（γ=Cp/CV），可用下列方法：一定量气体，它的初始温度、体积和压强分别为T0，V0和p0．用一根通电铂丝对它加热，设两次加热电流和时间相同，使气体吸收热量保持一样．第一次保持气体体积V0不变，而温度和压强变为T1，p1；第二次保持压强p0不变，而温度和体积则变为T2，V2，证明：
(p1?p0)V0．
(V2?V0)p0(dQ)V证：定容摩尔热容为CV?，在本题中为CV = ΔQ/(T1 – T0)；定压摩尔热容为
dT(dQ)pCp?，在本题中为Cp = ΔQ/(T2 – T0)．对于等容过程有p1/T1 = p0/T0，所以T1 = T0p1/p0；
dT??对于等压过程有V2/T2 = V0/T0，所以T2 = T0V2/V0． 因此??CpCV?T1?T0T0p1/p0?T0(p1?p0)V0． 证毕． ??T2?T0T0V2/V0?T0(V2?V0)p0
11.7 理想气体的既非等温也非绝热的过程可表示为pVn = 常数，这样的过程叫多方过程，n叫多方指数．
（1）说明n = 0，1，γ和∞各是什么过程． （2）证明：多方过程中理想气体对外做功：A?p1V1?p2V2．
n?1（3）证明：多方过程中理想气体的摩尔热容量为：C?CV(并就此说明（1）中各过程的值．
??n1?n)，
（1）说明：当n = 0时，p为常数，因此是等压过程；
当n = 1时，根据理想气体状态方程pV = RT，温度T为常数，因此是等温过程； 当n = γ时表示绝热过程；
当n =∞时，则有p1/nV = 常数，表示等容过程．
（2）证：对于多方过程有pVn = p1V1n = p2V2n = C(常数)， 理想气体对外所做的功为
V2V2A?V1?pdV??CV?ndV?V1pV?pVC(V21?n?V11?n)?1122．证毕． 1?nn?1（2）[证明]对于一摩尔理想气体有pV = RT，
RT1?RT2，
n?1i1气体吸收的热量为Q = ΔE + A = R(T2?T1)?R(T2?T1)，
21?n因此气体对外所做的功可表示为A?摩尔热容量为
C?Qi1i?2?in(i?2)/i?ni??n?(?)R?R?．证毕． ?R?CVT2?T121?n2(1?n)1?n21?n
11.8 一气缸内贮有10mol的单原子理想气体，在压缩过程中，外力做功209J，，气体温度升高1℃．试计算气体内能增量和所吸收的热量，在此过程中气体的摩尔热容是多少？ 解：单原子分子的自由度为i = 3，一摩尔理想气体内能的增量为
?E?iR?T= 12.465(J)，10mol气体内能的增量为124.65J． 2气体对外所做的功为A = - 209J，所以气体吸收的热量为Q = ΔE + A = -84.35(J)． 1摩尔气体所吸收的热量为热容为-8.435J，所以摩尔热容为C = -8.435(J·mol-1·K-1)．
11.9 一定量的单原子分子理想气体，从初态A出发，沿图示直线过程变p/105Pa B 到另一状态B，又经过等容、等压过程回到状态A． 3 （1）A→B，B→C，C→A，各过程中系统对外所做的功A，内能的增量2 ΔE以及所吸收的热量Q． C 1 A （2）整个循环过程中系统对外所做的总功以及从外界吸收的总热量（各V/10-3m3 O 2 1 过程吸热的代数和）．
图11.9
解：单原子分子的自由度i = 3．
（1）在A→B的过程中，系统对外所做的功为AB直线下的面积，即
AAB = (pA + pB)(VB – VA)/2 = 200(J)， 内能的增量为?EAB?iMiR(TB?TA)?(pBVB?pAVA)= 750(J)． 2?2吸收的热量为QAB = ΔEAB + AAB = 950(J)．B→C是等容过程，系统对外不做功．内能的增量
为
?EBC?iMiR(TC?TB)?(pCVC?pBVB)= -600(J)． 2?2吸收的热量为QBC = ΔEBC + ABC = -600(J)，就是放出600J的热量．C→A是等压过程，系统