高考数学必胜秘诀在哪?――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(一)集合与简易逻辑

高考数学必胜秘诀在哪?

――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能,为此作为临考前的高三学生,务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法,其次要熟悉一些基本题型,明确解题中的易误点,还应了解一些常用结论,最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点,按章节进行了系统的整理,最后阐述了考试中的一些常用技巧,相信通过对本资料的认真研读,一定能大幅度地提升高考数学成绩。

一、集合与简易逻辑

1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性,如 (1)设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a?b|a?P,b?Q},若P?{0,2,5}中元素的有________个。(答:8)

,Q?{1,2,6},则P+Q

?R,y?R,}A?{(x,y)|2x?y?m?0},B?{(x,y)|x?y?n?0},那么点(2)设U?{(x,y)|x; P(2,3)?A?(CuB)的充要条件是________(答:m??1,n?5)

(3)非空集合S?{1,2,3,4,5},且满足“若a?S,则6?a?S”,这样的S共有_____个(答:7) 2.遇到AB??时,你是否注意到“极端”情况:A??或B??;同样当A?B时,你是否忘记A??的

?1?0}情形?要注意到?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。如集合A?{x|ax,1B??x|x2?3x?2?0?,且AB?B,则实数a=______.(答:a?0,1,)

22?1,,3.对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2, 2?1

nnn2n?2.如满足{1,2}??M?{1,2,3,4,5}集合M有______个。 (答:7)

4.集合的运算性质: ⑴A⑶A?B?痧uA? ⑸euA⑺CU(AuB?A?B?A; ⑵AB?B?B?A;

B; ⑷A痧uB???uA?B;

B?U?A?B; ⑹CU(AB)?CUACUB;

B)?CUACUB.如设全集U?{1,2,3,4,5},若A?B?{2},(CUA)?B?{4},

(CUA)?(CUB)?{1,5},则A=_____,B=___.(答:A?{2,3},B?{2,4})

5. 研究集合问题,一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如:?x|y?lgx?—函数的定义域;

?y|y?lgx?—函数的值域;?(x,y)|y?lgx?—函数图象上的点集,如

(1)设集合M?{x|y?x?2},集合N=?y|y?x2,x?M?,则MN?___(答:[4,??));

(2)设集合M?{a|a?(1,2)??(3,4),??R},N?{a|a?(2,3)??(4,5),??R},则M?N?_____(答:{(?2,?2)})

6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,

补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函数f(x)?4x2?2(p?2)x?2p2?p?1在区间

3[?1,1]上至少存在一个实数c,使f(c)?0,求实数p的取值范围。 (答:(?3,))

27.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”;“且命题”的真假特点是“一假即假,要真全真”;“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中:

⑴“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件; ⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件; ⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件;

⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。其中正确的是__________(答:⑴⑶)

8.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”,则逆命题为“若q则p”;否命题为“若﹁p 则﹁q” ;逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。提醒:

(1)互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价;

(2)在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或”;

(3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定;

(4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“A?B?B?A”判断其真假,这也是反证法的理论依据。

(5)哪些命题宜用反证法?如

0

1 “在△ABC中,若∠C=90,则∠A、∠B都是锐角”的否命题为 ○

(答:在?ABC中,若

?C?90,则?A,?B不都是锐角);

2已知函数f(x)?a? ○

xx?2,a?1,证明方程f(x)?0没有负数根。 x?19.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾),由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释,若A?B,则A是B的充分条件;若B?A,则A是B的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件。如

(1)给出下列命题:

①实数a?0是直线ax?2y?1与2ax?2y?3平行的充要条件; ②若a,b?R,ab?0是a?b?a?b成立的充要条件;

③已知x,y?R,“若xy?0,则x?0或y?0”的逆否命题是“若x?0或y?0则xy?0”; ④“若a和b都是偶数,则a?b是偶数”的否命题是假命题 。

其中正确命题的序号是_______(答:①④);(2)设命题p:|4x?3|?1;命题q:x?(2a?1)x?a(a?1)?0。若┐p是┐q的必要而不充分的条件,则实数a的取值范围是 (答:[0,])

10. 一元一次不等式的解法:通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax?b的形式,若a?0,则

212bb;若a?0,则x?;若a?0,则当b?0时,x?R;当b?0时,x??。如已知关于x的不等式aa1(a?b)x?(2a?3b)?0的解集为(??,?),则关于x的不等式(a?3b)x?(b?2a)?0的解集为_______(答:

3x?{x|x??3})

11. 一元二次不等式的解集(联系图象)。尤其当??0和??0时的解集你会正确表示吗?设a?0,x1,x2是方程ax?bx?c?0的两实根,且x1?x2,则其解集如下表:

2ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ??0 {x|x?x1或x?x2} {x|x?x1或x?x2} {x|x1?x?x2}{x|x1?x?x2} ??0 {x|x??R b} 2aR R ? ? {x|x??b} 2a??0 ? 1;当0?a?1a如解关于x的不等式:(答:当a?0时,x?1;当a?0时,x?1或x?ax2?(a?1)x?1?0。时,1?x?11;当a?1时,x??;当a?1时,?x?1) aa212. 对于方程ax?bx?c?0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0,其次若a?0,则一定

2有??b?4ac?0。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时,你是否注意到同样的情形?如:

(1)?a?2?x?2?a?2?x?1?0对一切x?R恒成立,则a的取值范围是_______(答:(1,2]);

2(2)关于x的方程f(x)?k有解的条件是什么?(答:k?D,其中D为f(x)的值域),特别地,若在[0,内有两个不等的实根满足等式cos2x?3sin2x?k?1,则实数k的范围是_______.(答:[0,1))

?2])上有两根、13.一元二次方程根的分布理论。方程f(x)?ax?bx?c?0(a?0)在(k,??)上有两根、在(m,n在(??,k)和(k,??)上各有一根的充要条件分别是什么?

2????0?(?f(k)?0、?b???k?2a y (a>0) O k x1 x2 x ???0?f(m)?0?、f(k)?0)。根的分布理论成立的前提是开区间,若在闭?f(n)?0??m??b?n?2a区间[m,n]讨论方程f(x)?0有实数解的情况,可先利用在开区间(m,n)上实根分布的情况,得出结果,再令x?n和x?m检查端点的情况.如实系数方程x?ax?2b?0的一根大于0且小于1,另一根大于1且小于2,则的取值范围是_________(答:(

2b?2a?11,1)) 4214.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗?二次方程ax?bx?c?0的两个根即为二次不等式ax?bx?c?0(?0)的解集的端点值,也是二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴的交点的横坐标。如

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