专题1.1 集合
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;
2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义; 3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。
知识点1:元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和?。 (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法。 知识点2:集合间的基本关系
(1)子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A?B或B?A。
(2)真子集:若A?B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则A(3)相等:若A?B,且B?A,则A=B。
(4)空集的性质:?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 知识点3.集合的基本运算
符号表示 集合的并集 A∪B 集合的交集 A∩B 的补集为?UA 集合的补集 若全集为U,则集合AB或B
A。
图形表示 集合表示 {x|x∈U,且x?A} {x|x∈A,或x∈B} {x|x∈A,且x∈B} 知识点4.集合的运算性质
(1)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A。 (2)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A。
(3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U,?U(?UA)=A。 【特别提醒】
1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个。 2.子集的传递性:A?B,B?C?A?C。 3.A?B?A∩B=A?A∪B=B??UA??UB。
4. ?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB)。
考点一:集合的基本概念
【典例1】(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( ) A.9
B.8
C.5
D.4
【答案】A
【解析】方法一:由x2+y2≤3知,-3≤x≤3,-3≤y≤3.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},
1
y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为C13C3=9,故选A。
方法二:根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x2+y2=3中有9个整点,即为集合A的元素个数,故选A。
【规律方法】
1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义。
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性。
3.集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题。
???x+1【变式1】((2019·辽宁实验中学期中)已知集合A=?x∈Z?x-2≤0?,则集合A的子集的个数为( )
?
? ?
A.7B.8C.15D.16 【答案】B
x+1
【解析】由≤0,可得(x+1)(x-2)≤0,且x≠2,解得-1≤x<2.又x∈Z,可得x=-1,0,1,∴A={-
x-21,0,1}.∴集合A的子集的个数为23=8.
考点二:集合间的基本关系
【典例2】(2019·河北衡水中学调研)已知集合A={x|x2-5x-14≤0},集合B={x|m+1 【答案】 (-∞,4] 【解析】A={x|x2-5x-14≤0}={x|-2≤x≤7}, 当B=?时,有m+1≥2m-1,则m≤2。 当B≠?时,若B?A,如图所示 m+1≥-2,?? 则?2m-1≤7, ??m+1<2m-1,解得2 综上,m的取值范围为(-∞,4]。 【方法技巧】 (1)判断两集合之间的关系的方法:当两集合不含参数时,可直接利用数轴、图示法进行判断;当集合中含有参数时,需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法. (2)要确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数,再求解.不要忽略任何非空集合是它自身的子集. (3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、图示法来解决这类问题. 【易错警示】空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解. ??kππ? 【变式2】 (2019·山东烟台一中调研)已知集合M=?xx=4+4,k∈Z?,集合N= ???