2.4.1《平面向量的数量积的物理背景及其含义》导学案
【学习目标】
1说出平面向量的数量积及其几何意义；
2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 【重点难点】。平面向量的数量积及其几何意义 【学法指导】
预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律； 【知识链接】：
1.平面向量数量积（内积）的定义： 2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 3．“投影”的概念：作图
4.向量的数量积的几何意义： 5．两个向量的数量积的性质：
[来源:1]设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1? e?b=b e = 2? a?b?a? b=
设a、b为两个非零向量，e是a与同向的单位向量. e?a =a?e =
3? 当a与b同向时，a?b= 当a与b反向时，a?b = 特别的a?a= |a|2或
|a|?a?a
4? cos? = 5? |a?b| ≤ |a||b|
三、提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容 【学习过程】 创设问题情景，引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？ 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 探究一：
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数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 那么力F所做的功：W=
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： ①W（功）是 量， ②F（力）是 量， ③S（位移）是 量， ④α是 。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 2、明晰数量积的定义 （1）数量积的定义：
积（或内积），记作：a·b，即：a·b= ︱a︱·︱b︱cos? （2）定义说明：
[来源:1ZXXK]F α S 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，我们把数量 ︱a︱·︱b︱cos?叫做a与b的数量
①记法“a·b”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“? ”代替。 ② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。 （3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ （4）学生讨论，并完成下表：
?的范围 ?=90° 0°≤?<90° 0°
a·b.
解：
变式：对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.
探究二：研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念：
如图，我们把│b│cos?（│a│cos?） 叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影， 记做：OB1=︱│b│︱cos?
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？
3. 研究数量积的物理意义
请同学们用一句话来概括功的数学本质： 探究三：探究数量积的运算性质
[来源:1ZXXK]1、提出问题6：比较︱a·b︱与︱a︱×︱b︱的大小，你有什么结论？ 2、明晰：数量积的性质
3.数量积的运算律 设a和b都是非零向量，则 （1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？ 2、）、明晰：数量积的运算律： a⊥b a ·b=0 （ 1
a、 b、c和实数λ，则： 已知向量aa=6abb︱b°，求（ 2、当与同向时，·b︱=︱︱︱；当a与60反向时，a︱a与a +2b ）bb的夹角为例2、（师生共同完成）已知︱︱，︱︱=4, ·（a-3b），
并思考此运算过程类似于实数哪种运算？ 第 2 页 （3）（a + b）·c=a·c +b ·c 3、︱a·b︱≤︱a︱×︱b︱ （1）a·b= b·a （2）（λa）·b=λ（a·b)= a（·λb） ︱a·b︱= -︱a︱︱b︱， 特别地，a·a=︱a︱2或︱a︱=a?a 解：
[来源:Z。xx。k.Com]
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变式：（1）(a+b)=a+2a·b+b
（2）(a+b )·(a-b)= a—b
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【学习反思】
[来源:1ZXXK]【基础达标】
b. 1 .已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·
2. 已知|a|=6， |b|=4，a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b)
3 .已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.
b. 4.已知｜a｜＝３，｜b｜＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°5.已知|a|=1，|b|=2，(1)若a∥b，求a·，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.
6.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角. 【拓展提升】
1.已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ） A.60° B.30° C.135° D.４５° 2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为
?，那么向量m=a-4b的模为（ ） 3A.2 B.23 C.6 D.12
3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量a、b的夹角为
?，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|= . 35.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么
a·b= .
6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)＝______.
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