2.4.1《平面向量的数量积的物理背景及其含义》

2.4.1《平面向量的数量积的物理背景及其含义》导学案

【学习目标】

1说出平面向量的数量积及其几何意义;

2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律;

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 【重点难点】。平面向量的数量积及其几何意义 【学法指导】

预习平面向量的数量积及其几何意义;平面向量数量积的重要性质及运算律; 【知识链接】:

1.平面向量数量积(内积)的定义: 2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 3.“投影”的概念:作图

4.向量的数量积的几何意义: 5.两个向量的数量积的性质:

[来源:1]设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量. 1? e?b=b e = 2? a?b?a? b=

设a、b为两个非零向量,e是a与同向的单位向量. e?a =a?e =

3? 当a与b同向时,a?b= 当a与b反向时,a?b = 特别的a?a= |a|2或

|a|?a?a

4? cos? = 5? |a?b| ≤ |a||b|

三、提出疑惑:

同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中

疑惑点 疑惑内容 【学习过程】 创设问题情景,引出新课

1、提出问题1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么? 2、提出问题2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的?

3、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:平面向量数量积的物理背景及其含义 探究一:

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数量积的概念

1、给出有关材料并提出问题3:

(1)如图所示,一物体在力F的作用下产生位移S, 那么力F所做的功:W=

(2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空: ①W(功)是 量, ②F(力)是 量, ③S(位移)是 量, ④α是 。

(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 2、明晰数量积的定义 (1)数量积的定义:

积(或内积),记作:a·b,即:a·b= ︱a︱·︱b︱cos? (2)定义说明:

[来源:1ZXXK]F α S 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为?,我们把数量 ︱a︱·︱b︱cos?叫做a与b的数量

①记法“a·b”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“? ”代替。 ② “规定”:零向量与任何向量的数量积为零。 (3)提出问题4:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素有哪些? (4)学生讨论,并完成下表:

?的范围 ?=90° 0°≤?<90° 0°

a·b.

解:

变式:对于两个非零向量a、b,求使|a+tb|最小时的t值,并求此时b与a+tb的夹角.

探究二:研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念:

如图,我们把│b│cos?(│a│cos?) 叫做向量b在a方向上(a在b方向上)的投影, 记做:OB1=︱│b│︱cos?

2.提出问题5:数量积的几何意义是什么?

3. 研究数量积的物理意义

请同学们用一句话来概括功的数学本质: 探究三:探究数量积的运算性质

[来源:1ZXXK]1、提出问题6:比较︱a·b︱与︱a︱×︱b︱的大小,你有什么结论? 2、明晰:数量积的性质

3.数量积的运算律 设a和b都是非零向量,则 (1)、提出问题7:我们学过了实数乘法的哪些运算律?这些运算律对向量是否也用? 2、)、明晰:数量积的运算律: a⊥b a ·b=0 ( 1

a、 b、c和实数λ,则: 已知向量aa=6abb︱b°,求( 2、当与同向时,·b︱=︱︱︱;当a与60反向时,a︱a与a +2b )bb的夹角为例2、(师生共同完成)已知︱︱,︱︱=4, ·(a-3b),

并思考此运算过程类似于实数哪种运算? 第 2 页 (3)(a + b)·c=a·c +b ·c 3、︱a·b︱≤︱a︱×︱b︱ (1)a·b= b·a (2)(λa)·b=λ(a·b)= a(·λb) ︱a·b︱= -︱a︱︱b︱, 特别地,a·a=︱a︱2或︱a︱=a?a 解:

[来源:Z。xx。k.Com]

222

变式:(1)(a+b)=a+2a·b+b

(2)(a+b )·(a-b)= a—b

2

2

【学习反思】

[来源:1ZXXK]【基础达标】

b. 1 .已知|a|=5, |b|=4, a与b的夹角θ=120o,求a·

2. 已知|a|=6, |b|=4,a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b)

3 .已知|a|=3, |b|=4, 且a与b不共线,k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直.

b. 4.已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角是60°时,分别求a·b;(2)若a、b的夹角为60°5.已知|a|=1,|b|=2,(1)若a∥b,求a·,求|a+b|;(3)若a-b与a垂直,求a与b的夹角.

6.设m、n是两个单位向量,其夹角为60°,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角. 【拓展提升】

1.已知|a|=1,|b|=2,且(a-b)与a垂直,则a与b的夹角是( ) A.60° B.30° C.135° D.45° 2.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为

?,那么向量m=a-4b的模为( ) 3A.2 B.23 C.6 D.12

3.已知a、b是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量a、b的夹角为

?,|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|= . 35.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量,那么

a·b= .

6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)=______.

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