教学单元教案格式
线性代数 课程教案
授课题目：第一章n阶行列式 教学时数： 8学时 教学目的及要求： 1. 理解行列式的概念，理解行列式的子式、余子式及代数余子式的概念。 2. 熟练掌握阶行列式的性质及按行、列展开定理并计算行列式。 3. 掌握解线性方程组的克莱姆法则，会用克拉默法则求解非齐次线性方程组。 授课类型： ■理论课□ 实践课 教学重点：行列式的性质及行列式按行(列)展开定理。 教学难点：行列式的定义，行列式的性质及行列式按行(列)展开定理，一些特殊n阶行列式的计算。 教学方法和手段： 课程综合课堂的讲授、习题、讨论及课外资料的查询、分析等方法来传授知识。教学手段主要利用多媒体开展，课外资料查询、分析利用网络、图书馆进行。 选用教材和参考书目 教材：郑宝东主编. 线性代数与空间解析几何. 高等教育出版社，北京，2013。 参考书目： ［1］同济大学数学教研室编.线性代数(第六版).高等教育出版社.2014年 ［2］赵连偶，刘晓东.线性代数与几何(面向21世纪课程教材).高等教育出版社 ［3］居余马等.线性代数. 清华大学出版社 [4] 赵树原主编，《线性代数》（第三版），中国人民大学出版社1998年6月； [5] 徐仲主编，《线性代数典型题分析解集》（第二版），西北工业大学出版社2000年8月； [6] 陈文灯，黄先开编，《线性代数复习指导——思路、方法、技巧》，世界图书出版公司1998年10月。 线性代数 课程教案 教学内容及过程 教学引入： 线性代数与空间解析几何是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性与逻辑性，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。 旁批 正式学习行列式知识前需要大家复习高中排列的知识引入逆序数概念 教学内容与教学设计： 第一章 行列式（8学时） 1.1阶行列式的定义 1.2行列式的性质 1.3 行列式按行(列)展开 1.4 克拉默法则 排列及其逆序数 1．排列：n个依次排列的元素． 例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种． 1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243 2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143 3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142 4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132 例1 互异元素p1,p2,?,pn构成的不同排列有n!种． 解 在n个元素中选取1个 n种取法 在剩余n?1个元素中选取1个 n?1种取法 在剩余n?2个元素中选取1个 n?2种取法 ?????? ???? 在剩余2个元素中选取1个 2种取法 在剩余1个元素中选取1个 1种取法 ------------------ 总共n!种取法 2．标准排列：n个不同的自然数从小到大构成的排列． n个不同的元素按照某种约定次序构成的排列． 3．逆序数： (1) 某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素） 之间有1个逆序． (2) 排列p1p2?pn中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作?(p1p2?pn)． 算法：固定i(?2,?,n), 当j?i时, 满足 那么pj?pi的“pj”的个数记作?i（称为pi的逆序数）, ?(p1p2?pn)??2????n． 例2 排列6372451中, ???2????7?1?0?3?2?2?6?14． 例3 排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?42, 求逆序数． 解 记作 p1p2?pnpn?1pn?2?p2n?1p2n ?2?0, ?,?n?1?0 ?n?2?2?2?1, ?n?3?4?2?2, ?, ?2n?2?(n?1) ??2[1?2???(n?1)]?n(n?1) 4．奇偶性：排列 p1p2?pn ?(p1p2?pn)?奇数时, 称为奇排列； ?(p1p2?pn)?偶数时, 称为偶排列． p1?pipi?1?pn?p1?pi?1pi?pn 5．对换： 相邻对换： 一般对换：p1?pi?pj?pn?p1?pj?pi?pn(i?j) 定理1 排列经过1次对换, 其奇偶性改变． 证 先证相邻对换：(1) (2) a1?alabb1?bm a1?albab1?bm ?? a?b：对换后a增加1, b不变, 故t2?t1?1； ? a?b：对换后a不变, ?b减少1, 故t2?t1?1． 所以t2与t1的奇偶性相反． 再证一般对换：(1) (2) (3) a1?alab1?bmbc1?cn a1?alb1?bmabc1?cn a1?albb1?bmac1?cn (1)?(2)经过m次相邻对换 (2)?(3)经过m?1次相邻对换 (1)?(3)经过2m?1次相邻对换, 所以t3与t1的奇偶性相反． 推论 奇排列?标准排列, 对换次数为奇数． 偶排列?标准排列, 对换次数为偶数． §1.1 行列式定义 1．二阶行列式的定义 用消元法解二元线性方程组 ?a11x1?a12x2?b1? ?a21x1?a22x2?b2 (1) 为消去未知数x2,以a22与a12分别乘上列两方程的两端,然后两个方程相减得 , 类似地消去x1,得 ?a11a22?a12a21?x1?b1a22?a12b2?a11a22?a12a21?x2?a11b2?b1a21 当a11a22?a12a21?0时,求得方程组（1）的解为 ba?a12b2ab?bax1?122,x2?112121a11a22?a12a21a11a22?a12a21 (2) (2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得,其中分母a11a22?a12a21是由方程组（1）的四个系数确定的,把这四个数按它们在方程组（1）中的位置,排成二行二列（横排称行，竖排称列）的数表 a11a12 (3) a21a22 表达式a11a22?a12a21称为数表(3)所确定的二阶行列式,并记作 a 11 a 12 (4) a21a22 数aij称为行列式(4)的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标,表明该元素位于第j列.位于第i行第j列的元素称为行列式(4)的(i,j)元. 利用二阶行列式的概念，(2)式中x1,x2的分子也可写成二阶行列式，即 b1a22?a12b2?b1b2a12a22， a11b2?b1a21?a11b1a21b2 2. 三阶行列式 a11a12a11b1D2?若记，D ? , a21a22a21b2 D1D2x?,x?那末(2)式可写成. 12DD ?3x1?2x2?12?例1 求解二元线性方程组 ?2x1?x2?1a11a12a13aa22a23定义 设有9个数排成3行3列的数表 （5） 21 a31a32a33记 a11a12a13a21a22a23a31a32a33 a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31= (6) 称(6)式为数表(5)所确定的三阶行列式。 12?4D??221例2 计算三阶行列式 ?34?2 11123x?0例3 求解方程 49x2 3. n阶行列式的定义 a11a12?a11a22?a12a21 1．二阶： a21a22 a11a12a13a21a22a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 2．三阶： a31a32a33 ?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31