重庆大学2009级高等数学三(下)试卷参考答案

名姓 密 号弊学 绝作 、拒 考纪 严肃 级年信、 守 封 诚实 争、 平竞班、公业专 线 院学《高等数学(III-Ⅱ)》课程试卷参考答案

2009~2010学年 第2学期

一.填空题(每小题4分,共20分)

1. 设z?xsiny2,则

?z?y?2xycosy2

2. 设z?x2?y2,则dz?xdx?ydy

x2?y23.微分方程y''?4y'?4y?0的通解为y?e2x(C1?C2x)

?4.幂级数?n的收敛半径为3

n?13nxn1y115.交换二次积分?0dy?0f(x,y)dx的积分次序为?dx?f(x,y)dy

0x

二.计算题(每小题8分,共32分)

1.设z?ln(x2?y3),求

?z2?x,?z?x?y

?z2x22解:

?x?x2?y3,

?z6xy?x?y??(x2?y3)2

重庆大学试卷 教务处07版 第 1 页 共 2 页

?2.判定无穷级数

?3n

n?1n3的敛散性。3n?1a3解:??limn?1a?n??lim(n?1)nn??3n?3?1

n3所以原级数发散。

3.求微分方程

dydx?1xy?2x2的通解

解:此方程为一阶线性微分方程,所以其通解为

11y?e?xdx[?2x2e??xdxdx?C]?x(?2xdx?C)?x(x2?C)

4.设 z?uv?sint,u?et,v?cost3,求

dzdt.

解:

dzdt?vdudt?udvdt?cost

?etcost3?3t2etsint3?cost

三.计算题(每小题8分,共40分).

1.设z?f(xy,exy),f具有一阶连续偏导数,求

?z?z?x,?y 解:?z?z?x?yf1?yexyf2,

?y?xf1?xexyf2

命题人: 组题人 : 审题人 : 命题时间 : 教务处 制

22.计算二重积分 ??yx2?y2?2x围成的平面区

Dx2dxdy,其中 D是由曲线 域。

??y222cos??2sin2?2解:??2dxdy??d??d??4?sin2?d???Dx???0?2cos2?0

2

3.计算二重积分

??ey2dxdy,其中D是由y?x,y?1及y轴所围成的平面区

D域。

1y1解:??ey2dxdy??ey2dy?dx??yey2dy?1y211D0002e0?2(e?1)

4.将函数f(x)?1x2?4x?3展开成(x?2)的幂级数。

解:f(x)?112?x?1?1?1?1112x?36??1

1?x?210?31?x?25n ?1?1?6?(?1)n(x?2)(?1)n(x?2)nn?03n?10?5n

n?0? ??(?1)n(1?1nnn?06?3n10?5)(x?2)(?1?x?5)

重庆大学试卷 教务处07版 第 2 页 共 2 页

5.求微分方程 y''?2y'?y?e2x的通解 解:原方程对应的齐次方程为 y''?2y'?y?0

其特征方程为 r2?2r?1?0,特征根为 r1?r2??1

所以齐次方程的通解为Y(x)?e?x(C1?C2x)

又??2不是特征方程 r2?2r?1?0的根,所以原方程的特解可设为

y*(x)?Ae2x 代入原方程得 A?19,所以y*(x)?12x9e

故原方程的通解为 y(x)?e?x(C11?C2x)?9e2x

四.证明题(8分)???如果?a2与?b2nn收敛,则?(an?b2n)也收敛。

n?1n?1n?1证明:由于0?(a2n?bn)2?a2n?b2n?2anbb?2(a2n?bn)

??而2?(a2?b2nn)收敛,故?(an?b2n)也收敛。

n?1n?1

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