2019-2020年人教版高中数学必修二教案：1-3-2 球的体积和表面积
项目 课题 （共 1 课时） 教学 目标 教学教学重点：球的表面积和体积公式的应用. 重、 教学难点：关于球的组合体的计算. 难点 教学 多媒体课件 准备 一、导入新课： 球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积. 二、讲授新课： 球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4πR,V=?R. 2内容 1.3.2 球的体积和表面积 修改与创新 掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问 题的能力，培养转化与化归的数学思想方法. 433教学过程 应用示例 例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证： 图1 （1）球的体积等于圆柱体积的2； 3（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形. 证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R. 则有V球=?R，V圆柱=πR·2R=2πR，所以V球=V圆柱. 2343323（2）因为S球=4πR，S圆柱侧=2πR·2R=4πR，所以S球=S圆柱侧. 点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征. 变式训练 1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积. 22 图2 解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=2a,又∵4πR=324π,∴R=9. 2∴AC=AC'2?CC'2?82.∴a=8. ∴S表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576. 2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm，求它的内径（钢的密度为7.9 g/cm，精确到0.1 cm）. 解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为 34?534?3?()?x］=142, 32353142?33∴x=()?≈11.3,∴x≈2.24,∴直径2x≈4.5. 27.9?4?3.147.9·［答：空心钢球的内径约为4.5 cm. 例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）? 图3 活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积. 解：圆柱形物体的侧面面积S1≈3.1×1×3=9.3(m), 半球形物体的表面积为S2≈2×3.1×(所以S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m). 10.9×150≈1 635(朵). 答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花. 点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力. 变式训练 有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？ 分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决. 解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示， 22122)≈1.6(m), 2 图4 圆锥底面半径r=R?3R, tan30?圆锥母线l=2r=23R，圆锥高为h=3r=3R，