考查角度1 古典概型与几何概型
分类透析一 古典概型的应用
例1 有5个小球(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5个小球中任取2个不同颜色的小球,则取出的2个小球中含有红色小球的概率为( ).
A. B. C. D.
解析 选取2个小球的方法有红黄,红蓝,红绿,红紫,黄蓝,黄绿,黄紫,蓝绿,蓝紫,绿紫,共10种,含有红色小球的选法有4种.由古典概型公式,所求概率P==.故选C.
答案 C 方法技巧 古典概型中基本事件数的探求方法: (1)列举法.
(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.
(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化,抽象的题目具体化. 分类透析二 几何概型的应用
- 例2 设不等式组 - 所表示的区域为M,函数
y=- - 的图象与x轴所围成的区域为N,向M内随机投一个点,则该
点落在N内的概率为( ).
A. B. C. D.
解析 如图,由题意知区域M为△ABC及其内部,其面积为
S= ×4 ×2 =8,
区域N为半圆及其内部(图中阴影部分),其面积为S1= ×π×22=2π
∴所求概率P= = .
故选A. 答案 A 方法技巧 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量,最后计算P(A).
例3 甲、乙两人约定7:10在某处会面,已知甲在7:00~ 7:20内某一时刻随机到达,乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达,则甲至少需等待乙5分钟的概率是( ).
A. B. C. D.
解析 建立直角坐标系,如图,x,y分别表示甲,乙两人到达的时刻,则矩形中的点(x,y)表示甲,乙两人到达的时刻,则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是y-x≥5 其构成的区域为图中阴影部分,则所求的概率为P==.故选C.
答案 C 方法技巧 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解.
(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.
(3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性.基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.
1.(2018年全国Ⅱ卷,文5改编)从数字1,2,3,4中任取两个不同数字组成两位数,则该两位数大于32的概率为( ).
A. B. C. D.
解析 从数字1,2,3,4中任取两个不同数字组成的两位数有12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共12个,每个结果出现的可能性是相同的,所以该试验属于古典概型.记事件A为“取出两个不同数字组成的两位数大于32” 则A中包含34,41,42,43,共4个基本事件,根据古典概型概率公式,得P(A)==.故选B.
答案 B 2.(2018年全国Ⅲ卷,文5改编)某单位电话总机室内有2部外线电话:T1和T2.在同一时间内,T1打入电话的概率是0.4,T2打入电话的概率是0.5,两部同时打入电话的概率是0.2,则至少有一部电话打入的概率是( ).
A.0.9 B.0.7 C.0.6 D.0.5
解析 所求的概率为0.4+0.5-0.2=0.7.故选B. 答案 B
3.(2018年全国Ⅰ卷,理10改编)折纸艺术是我国古代留下来的宝贵民间艺术,具有很高的审美价值和应用价值.右图是一个折纸图案,由一个正方形内切一个圆形,然后在四个顶点处分别嵌入半径为正方形边长一半的扇形.向图中随机投入一个质点,则质点落在阴影部分的概率P1与质点落在正方形内且圆形区域外的概率P2的大小关系是( ).
A.P1>P2 B.P1 解析 将正方形内圆形区域外的四个直角进行沿直角边重合组合,恰好得到的图形就是阴影部分图形,所以阴影部分区域的面积等于正方形内圆形区域外的面积,故P1=P2. 答案 C