2019年全国各地中考数学真题分类汇编——专题18 新定义与阅读理解题1(练习版+答案解析版)

∴f(x1)>f(x2),∴函数f(x)═根据以上材料,解答下面的问题: 已知函数f(x)=

6(x>0)是减函数. x1+x(x<0), 2xf(–1)=

117+1=0f2=+2=(–),(–)(–)–. (?1)2(?2)24(1)计算:f(–3)=__________,f(–4)=__________; (2)猜想:函数f(x)=

1+x(x<0)是__________函数(填“增”或“减”); x2(3)请仿照例题证明你的猜想.

2663,–;(2)增;(3)见解析. 9161【解析】(1)∵f(x)=2+x(x<0),

x【答案】(1)–

1126633=f4=4=∴f(–3)=––,(–)––,

(?3)2(?4)2916故答案为:–

2663,–; 9161+x(x<0)是增函数, 2x(2)∵–4<–3,f(–4)>f(–3), ∴函数f(x)=

故答案为:增; (3)设x1

x1?x211?x??x=xx1(–)(–121222)

x12x2x12x2+

∵x1

∴f(x1)–f(x2)<0,∴f(x1)

1+x(x<0)是增函数. 2x【名师点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用反比例函数的性质解答.

6.(2019?随州)若一个两位数十位、个位上的数字分别为m,n,我们可将这个两位数记为mn,易知mn=10m+n;同理,一个三位数、四位数等均可以用此记法,如abc=100a+10b+c.

【基础训练】 (1)解方程填空:

①若2x+x3=45,则x=__________; ②若7y–y8=26,则y=__________; ③若t93+5t8=13t1,则t=__________; 【能力提升】

(2)交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字,可得到一个新数nm,则mn+nm一定能被__________整除,mn–nm一定能被__________整除,mn?nm–mn一定能被__________整除;(请从大于5的整数中选择合适的数填空) 【探索发现】

(3)北京时间2019年4月10日21时,人类拍摄的首张黑洞照片问世,黑洞是一种引力极大的天体,连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象:任选一个三位数,要求个、十、百位的数字各不相同,把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325,则用532–235=297),再将这个新数按上述方式重新排列,再相减,像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________;

②设任选的三位数为abc(不妨设a>b>c),试说明其均可产生该黑洞数. 【答案】(1)①2.②4.③7.(2)11;9;10. 【解析】(1)①∵mn=10m+n, ∴若2x+x3=45,则10×2+x+10x+3=45, ∴x=2, 故答案为:2.

②若7y–y8=26,则10×7+y–(10y+8)=26, 解得y=4, 故答案为:4.

③由abc=100a+10b+c,及四位数的类似公式得

若t93+5t8=13t1,则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1, ∴100t=700, ∴t=7, 故答案为:7.

(2)∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11(m+n), ∴则mn+nm一定能被11整除,

∵mn–nm=10m+n–(10n+m)=9m–9n=9(m–n), ∴mn–nm一定能被9整除.

2222

∵mn?nm–mn=(10m+n)(10n+m)–mn=100mn+10m+10n+mn–mn=10(10mn+m+n)

∴mn?nm–mn一定能被10整除. 故答案为:11;9;10.

(3)①若选的数为325,则用532–235=297,以下按照上述规则继续计算, 972–279=693, 963–369=594, 954–459=495, 954–459=495,… 故答案为:495.

②当任选的三位数为abc时,第一次运算后得:100a+10b+c–(100c+10b+a)=99(a–c), 结果为99的倍数,由于a>b>c,故a≥b+1≥c+2, ∴a–c≥2,又9≥a>c≥0, ∴a–c≤9,

∴a–c=2,3,4,5,6,7,8,9,

∴第一次运算后可能得到:198,297,396,495,594,693,792,891, 再让这些数字经过运算,分别可以得到:

981–189=792,972–279=693,963–369=594,954–459–495,954–459=495…,

故都可以得到该黑洞数495.

【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题,题目设置的问题较多,但解答方法大同小异,总体中等难度略大.

7.(2019?自贡)阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值,采用以下方法:

220172018

设S=1+2+2+…+2+2①, 220182019

则2S=2+2+…+2+2②,

②–①得2S–S=S=2

2019

–1,

2201720182019

∴S=1+2+2+…+2+2=2–1.

请仿照小明的方法解决以下问题:

29

(1)1+2+2+…+2=__________; 210

(2)3+3+…+3=__________;

n2

(3)求1+a+a+…+a的和(a>0,n是正整数),请写出计算过程.

311?1an?1?1【答案】(1)2–1;(2);(3)a=1时,S=n+1;a≠1时,S=.

2a?110

29

【解析】(1)设S=1+2+2+…+2①, 210

则2S=2+2+…+2②, 10

②–①得2S–S=S=2–1, 2910

∴S=1+2+2+…+2=2–1; 10

故答案为:2–1;

23410

(2)设S=3+3+3+3+3+…+3①, 234511

则3S=3+3+3+3+…+3②,

②–①得2S=3–1,

11

311?1所以S=,

2311?1即3+3+3+3+…+3=;

22

3

4

10

311?1故答案为:;

2n234

(3)设S=1+a+a+a+a+…+a①,

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