∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）═根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f（x）=
6（x＞0）是减函数． x1+x（x<0）， 2xf（–1）=
117+1=0f2=+2=（–），（–）（–）–． (?1)2(?2)24（1）计算：f（–3）=__________，f（–4）=__________； （2）猜想：函数f（x）=
1+x（x<0）是__________函数（填“增”或“减”）； x2（3）请仿照例题证明你的猜想．
2663，–；（2）增；（3）见解析． 9161【解析】（1）∵f（x）=2+x（x<0），
x【答案】（1）–
1126633=f4=4=∴f（–3）=––，（–）––，
(?3)2(?4)2916故答案为：–
2663，–； 9161+x（x<0）是增函数， 2x（2）∵–4<–3，f（–4）＞f（–3）， ∴函数f（x）=
故答案为：增； （3）设x1 x1?x211?x??x=xx1（–）（–121222） x12x2x12x2+ ∵x1 ∴f（x1）–f（x2）<0，∴f（x1） 1+x（x<0）是增函数． 2x【名师点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 6．（2019?随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn，易知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+10b+c． 【基础训练】 （1）解方程填空： ①若2x+x3=45，则x=__________； ②若7y–y8=26，则y=__________； ③若t93+5t8=13t1，则t=__________； 【能力提升】 （2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn+nm一定能被__________整除，mn–nm一定能被__________整除，mn?nm–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空） 【探索发现】 （3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________； ②设任选的三位数为abc（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数． 【答案】（1）①2．②4．③7．（2）11；9；10． 【解析】（1）①∵mn=10m+n， ∴若2x+x3=45，则10×2+x+10x+3=45， ∴x=2， 故答案为：2． ②若7y–y8=26，则10×7+y–（10y+8）=26， 解得y=4， 故答案为：4． ③由abc=100a+10b+c，及四位数的类似公式得 若t93+5t8=13t1，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1， ∴100t=700， ∴t=7， 故答案为：7． （2）∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n）， ∴则mn+nm一定能被11整除， ∵mn–nm=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n）， ∴mn–nm一定能被9整除． 2222 ∵mn?nm–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m+10n+mn–mn=10（10mn+m+n） ∴mn?nm–mn一定能被10整除． 故答案为：11；9；10． （3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算， 972–279=693， 963–369=594， 954–459=495， 954–459=495，… 故答案为：495． ②当任选的三位数为abc时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c）， 结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2， ∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0， ∴a–c≤9， ∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9， ∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到： 981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…， 故都可以得到该黑洞数495． 【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大． 7．（2019?自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法： 220172018 设S=1+2+2+…+2+2①， 220182019 则2S=2+2+…+2+2②， ②–①得2S–S=S=2 2019 –1， 2201720182019 ∴S=1+2+2+…+2+2=2–1. 请仿照小明的方法解决以下问题： 29 （1）1+2+2+…+2=__________； 210 （2）3+3+…+3=__________； n2 （3）求1+a+a+…+a的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程． 311?1an?1?1【答案】（1）2–1；（2）；（3）a=1时，S=n+1；a≠1时，S=． 2a?110 29 【解析】（1）设S=1+2+2+…+2①， 210 则2S=2+2+…+2②， 10 ②–①得2S–S=S=2–1， 2910 ∴S=1+2+2+…+2=2–1； 10 故答案为：2–1； 23410 （2）设S=3+3+3+3+3+…+3①， 234511 则3S=3+3+3+3+…+3②， ②–①得2S=3–1， 11 311?1所以S=， 2311?1即3+3+3+3+…+3=； 22 3 4 10 311?1故答案为：； 2n234 （3）设S=1+a+a+a+a+…+a①，