4
又FA的方程为y＝(x－1)，①
3
MN的方程为y－2＝－x，②
84
联立①②，解得x＝，y＝，
55
34
?84?所以点N的坐标为?，?. ?55?
[能力提升]
1．(2019·台州书生中学月考)抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°，过AB的中点M作抛物线准线l的垂线MN，垂足为N，|MN|则的最大值为( ) |AB|
A．3 3
B．1 D．2
2
23C．
3
解析：选A.过A、B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，连接AF、BF，由抛11222
物线的定义知|MN|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)，在△AFB中，|AB|＝|AF|＋|BF|
22－2|AF||BF|·cos 120°＝|AF|＋|BF|＋|AF||BF|.
2
2
?|MN|?＝1·|AF|＋|BF|＋2|AF||BF|
所以???|AB|?4|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|
|AF||BF|1??
＝?1＋22?4?|AF|＋|BF|＋|AF||BF|?
1??11?11?1＋
|AF||BF|?≤×?1＋＝??＝，
＋＋1?4?2＋1?34?
?|BF||AF|?
|MN|3
当且仅当|AF|＝|BF|时取等号，所以的最大值为. |AB|3
→→2
2．已知F为抛物线y＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A．2
B．3
2
22
172C．
8
解析：选B.设A(x1，x1)，B(x2，－x2)， 111
则S△AFO＝×x1＝x1.
248→→
由OA·OB＝2得x1x2－x1x2＝2， 即x1x2－x1x2－2＝0，解得x1x2＝4， →→222
所以(|OA|·|OB|)＝(x1＋x1)(x2＋x2) ＝x1x2＋x1x2·(x1＋x2)＋x1x2 ＝20＋4(x1＋x2)，
→→OA·OB因为cos∠AOB＝，
→→|OA||OB|所以sin∠AOB＝1－cos∠AOB
2
22
D．10
＝
?1－???
→
?.
→→?|OA||OB|?
→OA·OB?2
1→→
所以S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB
21→→＝|OA||OB|21＝ 2＝
?1－???
→
?
→→?|OA||OB|?
→OA·OB?2
→→→→22
（|OA||OB|）－（OA·OB）
1
16＋4（x1＋x2）＝4＋（x1＋x2） 2
＝
x1＋4＋＝x1＋，
x1x1
929216
x1·＝3，当x1＝，即x1＝时等号成889x1x1
42
92
所以S△ABO＋S△AFO＝x1＋≥28x1
立．
3．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________．
2
ba
2?a＝pa，aa?????解析：依题知C?，－a?，F?＋b，b?，因为点C，F在抛物线上，所以?2
?2??2??b＝p（a＋2b），?
bbb?b?两式相除得??－2－1＝0，解得＝1＋2或＝1－2(舍)． aaa?a?
答案：1＋2
4．(2019·台州市高考模拟)如图，过抛物线y＝4x的焦点F作直线与抛物线及其准线→→→
分别交于A，B，C三点，若FC＝4FB，则|AB|＝________．
2
2
解析：
分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，则DF＝p＝2，由抛物线的定义可知FB＝BB1，AF＝AA1，
DFFC4→→
因为FC＝4FB，所以＝＝，
BB1BC3
3
所以FB＝BB1＝.
2所以FC＝4FB＝6，
DF1
所以cos ∠DFC＝＝，
FC3
所以cos ∠A1AC＝
AA1AF1＝＝，解得AF＝3， ACAF＋63
39
所以AB＝AF＋BF＝3＋＝. 229答案： 2
5．已知抛物线x＝4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点． (1)当|PF|＝2时，求点P的坐标；
(2)求点P到直线y＝x－10的距离的最小值．
解：(1)由抛物线x＝4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点，
22
?a?故设P?a，?(a＞0)，
?4?
因为|PF|＝2，结合抛物线的定义得＋1＝2，
4所以a＝2，所以点P的坐标为(2，1)．
2
a2
?a?(2)设点P的坐标为P?a，?(a＞0)， ?4?
则点P到直线y＝x－10的距离为12
因为－a＋10＝(a－2)＋9，
44
所以当a＝2时，－a＋10取得最小值9，
49
故点P到直线y＝x－10的距离的最小值为2.
2
6．(2019·杭州宁波二市三校联考)已知A，B，C是抛物线y＝2px(p＞0)上三个不同的点，且AB⊥AC.
2
2
?a－a－10??a－a＋10??4??4?????
2
＝2
22
.
a2
a2
(1)若A(1，2)，B(4，－4)，求点C的坐标；
(2)若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标．
解：(1)因为A(1，2)在抛物线y＝2px(p＞0)上，所以p＝2.所以抛物线方程为y＝4x.
2
2