第二章 随机变量及其分布
1、解：
设公司赔付金额为X，则X的可能值为；
投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010
投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X的分布律为： 25 0 0 000.0002 .0010 .9988 2、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律
解：X可以取值3，4，5，分布律为 也可列为下表 X： 3， 4，5
P：
136,, 1010103、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。
P(X?1)?P(X?2)?12C2?C133C1521C2?C133C15??12 351 35P 再列为下表 X： 0， 1， 2
O 1 2 x P： 22,12,1
3535354、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q =1－p(0 （2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布。） （3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。 解：（1）P (X=k)=qk－1p k=1,2,…… （2）Y=r+n={最后一次实验前r+n－1次有n次失败，且最后一次成功} P(Y?r?n)?Crn?n?1qnpr?1p?Crn?n?1qnpr,n?0,1,2,?,其中 q=1－p， ?1rk?r,k?r,r?1,? 或记r+n=k，则 P{Y=k}=Ckr?1p(1?p)k1 （3）P (X=k) = (0.55)0.45 k=1,2… － P (X取偶数)=?P(Xk?1??2k)??k?1?(0.55)2k?10.45?11 315、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。 （1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。 （2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。 （3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。 解：（1）X的可能取值为1，2，3，…，n，… P {X=n}=P {前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去} =(2)n?1?1， n=1，2，…… 33（2）Y的可能取值为1，2，3 P {Y=1}=P {第1次飞了出去}=1 3 P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去} =2?1?1 323 P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去} =2!?1 3!33同上，P{X?Y}??P{Y?k}P{X?Y|Y?k} k?1故P{Y?X}?1?P{X?Y}?P{X?Y)?38 816、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻 （1）恰有2个设备被使用的概率是多少？ （2）至少有3个设备被使用的概率是多少？ （3）至多有3个设备被使用的概率是多少？ （4）至少有一个设备被使用的概率是多少？ 7、设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5 次独立试验，求指示灯发出信号的概率 。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率 解： 设X为 A发生的次数。 则XB?0.3,n?. n=5，7 B:“指示等发出信号“ ① P?B??P?X?3???C5k0.3k0.75?k?0.163 k?35 ②P?B??P?X?3???P?X?K??1??P?X?K? k?30728、甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次。求 （1）二人投中次数相等的概率。 记X表甲三次投篮中投中的次数 Y表乙三次投篮中投中的次数 由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。 P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3) = P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3) 11?0.6?(0.4)2]?[C3?0.7?(0.3)2] = (0.4)3× (0.3)3+ [C3（2）甲比乙投中次数多的概率。 P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) =P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) 12?0.6?(0.4)2]?(0.3)3?[C3?(0.6)2?0.4]?(0.3)8? =[C39、有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求 （1）这批产品经第一次检验就能接受的概率 （2）需作第二次检验的概率 （3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率 （4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率 （5）这批产品被接受的概率 解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数， 由于产品总数很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服从） （1）P {X=0}=0.910≈0.349 210.120.98?C100.10.99?0.581 （2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}=C10（3）P {Y=0}=0.9 5≈0.590 （4）P {0 （5）P {X=0}+ P {0 10、有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。 （1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？ （2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。） 解：（1）P (一次成功)=14?1 C870