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?即分布函数
?1?z/2edx?1?e?z/2
z?0?0, FZ(z)??-z/2?1-e,z?0故Z的密度函数为
?1?z/2?e,z?0fZ(z)??2
?z?0?0,32.设随机变量X的密度函数为
?2x?,0?x?π,f(x)=?π2
?其他.?0,试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0?Y?1)?1
当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0
当0 ?P(0?X?arcsiny)?P(π?arcsiny?X?π) π2x2xdx??0π2?π?arcsinyπ2dx 1122 ?2（arcsiny）?1-2（π-arcsiny）ππ2 ?arcsiny π ?arcsiny当y≥1时，FY(y)?1 故Y的密度函数为 1?2,0?y?1?π2fY(y)?? 1?y?0,其他?33.设随机变量X的分布函数如下： ?1,?F(x)??1?x2??(2),试填上(1),(2),(3)项. x?(1)x?, (3).. . 【解】由limF(x)?1知②填1。 x??由右连续性limF(x)?F(x0)?1知x0?0，故①为0。 +x?x0从而③亦为0。即 ?1,x?0?2 F(x)??1?x?x?0?1,34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)= 抛掷出现6点}。则 1.且A1与A2相互独立。再设C={每次6P(C)?P(A1 ?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2) 111111 ????66663611 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。 3635.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则 X~b(n,0.1) 0nP(X?1)?1?P(X?0)?1?C0n(0.1)(0.9)?0.9 即 (0.9)?0.1 得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知 n??0,?1?F（x）=?x?,2??1,??x?0,10?x?, 21x?.2则F（x）是（ ）随机变量的分布函数. （A） 连续型； （B）离散型； （C） 非连续亦非离散型. 【解】因为F（x）在（?∞,+∞）上单调不减右连续，且limF(x)?0 x???x???limF(x)?1,所以F（x）是一个分布函数。 但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随 . . 机变量的分布函数。选（C） 37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b] 等于（ ） (A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [?π/2,0]; (D) [0, 3π]. 2π/2π【解】在[0,]上sinx≥0，且?sinxdx?1.故f(x)是密度函数。 02在[0,π]上在[??π0sinxdx?2?1.故f(x)不是密度函数。 π,0]上sinx?0，故f(x)不是密度函数。 233在[0,π]上，当π?x?π时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。 22故选（A）。 38.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？ 【解】因为X~N(0,?),P(1?X?3)?P(21?3?X??3?) ??(利用微积分中求极值的方法，有 ?1)??()令g(?) ?g?(?)?(?3?311??)?()??() 22????? 3?212??1?9/2?21e?2?2?21?1/2?2e2?2??1/2??8/2?e[1?3e]?02令 得?0?2224，则?0?，又 g??(?0)?0，故?0?为极大值点且惟一。 ln3ln3ln32时X落入区间（1，3）的概率最大。 ln3故当??39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），每个顾客购买某种物 品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律. e???m,m?0,1,2,【解】P(X?m)?m! 设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即 km?kP(Y?k|X?m)?Ckp(1?p),k?0,1,m,m 由全概率公式有 . . P(Y?k)??P(X?m)P(Y?k|X?m) m?k?e???mkk??Cmp(1?p)m?km!m?k??e ?e??m?k???k!(m?k)!p(?p)kk!???mk(1?p)m?k [?(1?p)]m?k?(m?k)!m?k(?p)k???(1?p)?eek!(?p)k??p?e,k?0,1,2,k!此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp. 40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1?e?2X在区间（0，1）上服从均匀分布. （1995研考） 【证】X的密度函数为 ?2e?2x,x?0fX(x)?? x?0?0,由于P（X>0）=1，故0<1?e?2X<1，即P（0 当y≤0时，FY（y）=0 当y≥1时，FY（y）=1 ?2x当0 1?P(X??ln(1?y))2 ??即Y的密度函数为 1?ln(1?y)202e?2xdx?y?1,0?y?1 fY(y)???0,其他即Y~U（0，1） ?1?3,0?x?1,??241.设随机变量X的密度函数为f(x)=?,3?x?6,若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值 ?9其他.?0,??范围. (2000研考) . . 【解】由P（X≥k）= 21知P（X 33k若k<0,P(X 1k1dx??033?3 1 当k=1时P（X 311k1若1≤k≤3时P（X 031311k2211若3 0339933若0≤k≤1,P(X 故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）=42.设随机变量X的分布函数为 2. 3x??1,?0,?0.4,?1?x?1,?F(x)=? 0.8,1?x?3,??x?3.?1,求X的概率分布. （1991研考） 【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为 X P ?1 0.4 1 0.4 3 0.2 43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A 在一次试验中出现的概率. （1988研考） 【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则 X~b(3,p) 由P（X≥1）=故p= 198知P（X=0）=（1?p）3= 27271 344.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？（1989研考） 【解】 ?1?,1?x?6 f(x)??5??0,其他P(X2?4?0)?P(X?2)?P(X??2)?P(X?2)?4 545.若随机变量X~N（2，σ2），且P{2 .