概率论与数理统计习题二答案

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?即分布函数

?1?z/2edx?1?e?z/2

z?0?0, FZ(z)??-z/2?1-e,z?0故Z的密度函数为

?1?z/2?e,z?0fZ(z)??2

?z?0?0,32.设随机变量X的密度函数为

?2x?,0?x?π,f(x)=?π2

?其他.?0,试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0?Y?1)?1

当y≤0时,FY(y)?P(Y?y)?0

当0

?P(0?X?arcsiny)?P(π?arcsiny?X?π)

π2x2xdx??0π2?π?arcsinyπ2dx

1122 ?2(arcsiny)?1-2(π-arcsiny)ππ2 ?arcsiny

π ?arcsiny当y≥1时,FY(y)?1 故Y的密度函数为

1?2,0?y?1?π2fY(y)?? 1?y?0,其他?33.设随机变量X的分布函数如下:

?1,?F(x)??1?x2??(2),试填上(1),(2),(3)项.

x?(1)x?,

(3)..

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【解】由limF(x)?1知②填1。

x??由右连续性limF(x)?F(x0)?1知x0?0,故①为0。 +x?x0从而③亦为0。即

?1,x?0?2 F(x)??1?x?x?0?1,34.同时掷两枚骰子,直到一枚骰子出现6点为止,求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。(i=1,2),P(Ai)=

抛掷出现6点}。则

1.且A1与A2相互独立。再设C={每次6P(C)?P(A1 ?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2)

111111 ????66663611 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。

3635.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数,设数字序列中要包含n个数字,则

X~b(n,0.1)

0nP(X?1)?1?P(X?0)?1?C0n(0.1)(0.9)?0.9

即 (0.9)?0.1 得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知

n??0,?1?F(x)=?x?,2??1,??x?0,10?x?,

21x?.2则F(x)是( )随机变量的分布函数.

(A) 连续型; (B)离散型; (C) 非连续亦非离散型.

【解】因为F(x)在(?∞,+∞)上单调不减右连续,且limF(x)?0

x???x???limF(x)?1,所以F(x)是一个分布函数。

但是F(x)在x=0处不连续,也不是阶梯状曲线,故F(x)是非连续亦非离散型随

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机变量的分布函数。选(C)

37.设在区间[a,b]上,随机变量X的密度函数为f(x)=sinx,而在[a,b]外,f(x)=0,则区间 [a,b]

等于( )

(A) [0,π/2]; (B) [0,π];

(C) [?π/2,0]; (D) [0,

3π]. 2π/2π【解】在[0,]上sinx≥0,且?sinxdx?1.故f(x)是密度函数。

02在[0,π]上在[??π0sinxdx?2?1.故f(x)不是密度函数。

π,0]上sinx?0,故f(x)不是密度函数。 233在[0,π]上,当π?x?π时,sinx<0,f(x)也不是密度函数。

22故选(A)。

38.设随机变量X~N(0,σ2),问:当σ取何值时,X落入区间(1,3)的概率最大? 【解】因为X~N(0,?),P(1?X?3)?P(21?3?X??3?)

??(利用微积分中求极值的方法,有

?1)??()令g(?)

?g?(?)?(?3?311??)?()??() 22?????

3?212??1?9/2?21e?2?2?21?1/2?2e2?2??1/2??8/2?e[1?3e]?02令

得?0?2224,则?0?,又 g??(?0)?0,故?0?为极大值点且惟一。 ln3ln3ln32时X落入区间(1,3)的概率最大。 ln3故当??39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P(λ),每个顾客购买某种物

品的概率为p,并且各个顾客是否购买该种物品相互独立,求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.

e???m,m?0,1,2,【解】P(X?m)?m!

设购买某种物品的人数为Y,在进入商店的人数X=m的条件下,Y~b(m,p),即

km?kP(Y?k|X?m)?Ckp(1?p),k?0,1,m,m

由全概率公式有

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P(Y?k)??P(X?m)P(Y?k|X?m)

m?k?e???mkk??Cmp(1?p)m?km!m?k??e ?e??m?k???k!(m?k)!p(?p)kk!???mk(1?p)m?k

[?(1?p)]m?k?(m?k)!m?k(?p)k???(1?p)?eek!(?p)k??p?e,k?0,1,2,k!此题说明:进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布,购买这种物品的人数仍服从泊松分布,但参数改变为λp.

40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明:Y=1?e?2X在区间(0,1)上服从均匀分布.

(1995研考) 【证】X的密度函数为

?2e?2x,x?0fX(x)??

x?0?0,由于P(X>0)=1,故0<1?e?2X<1,即P(0

当y≤0时,FY(y)=0 当y≥1时,FY(y)=1

?2x当0

1?P(X??ln(1?y))2 ??即Y的密度函数为

1?ln(1?y)202e?2xdx?y?1,0?y?1 fY(y)???0,其他即Y~U(0,1)

?1?3,0?x?1,??241.设随机变量X的密度函数为f(x)=?,3?x?6,若k使得P{X≥k}=2/3,求k的取值

?9其他.?0,??范围. (2000研考)

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【解】由P(X≥k)=

21知P(X

33k若k<0,P(X

1k1dx??033?3 1 当k=1时P(X

311k1若1≤k≤3时P(X

031311k2211若3

0339933若0≤k≤1,P(X6,则P(X

故只有当1≤k≤3时满足P(X≥k)=42.设随机变量X的分布函数为

2. 3x??1,?0,?0.4,?1?x?1,?F(x)=?

0.8,1?x?3,??x?3.?1,求X的概率分布. (1991研考)

【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系,可知X的概率分布为 X P ?1 0.4 1 0.4 3 0.2 43.设三次独立试验中,事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27,求A

在一次试验中出现的概率. (1988研考)

【解】令X为三次独立试验中A出现的次数,若设P(A)=p,则

X~b(3,p)

由P(X≥1)=故p=

198知P(X=0)=(1?p)3= 27271 344.若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布,则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少?(1989研考) 【解】

?1?,1?x?6 f(x)??5??0,其他P(X2?4?0)?P(X?2)?P(X??2)?P(X?2)?4 545.若随机变量X~N(2,σ2),且P{2

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