.
【解】0.3?P(2?X?4)?P(2?2???X?2??4?2?)
22??()??(0)??()?0.5
?故 ?()?0.8
2?因此 P(X?0)?P(X?2?2?0?2?2)??(?)
? ?1??(?)?0.2
46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调
试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求 （1） 全部能出厂的概率α；
（2） 其中恰好有两台不能出厂的概率β；
（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ. (1995研考) 【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则
A={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂}
由题意知B=A∪AB，且
P(A)?0.3,P(B|A)?0.8P(AB)?P(A)P(B|A)?0.3?0.8?0.24 P(B)?P(A)?P(AB)?0.7?0.24?0.94令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，0.94）, 故
??P(X?n)?(0.94)nn?2??P(X?n?2)?C2(0.06)2 n(0.94)??P(X?n?2)?1?P(X?n?1)?P(X?n) ?1?n(0.94)n?10.06?(0.94)n
47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72
分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. （1990研考）
【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2）
24?X?7296?72?0.023?P(X?96)?P???1??() ??????故 ?(查表知
24?)?0.977
24??2,即σ=12
.
.
从而X~N（72，122） 故 P(60?X?84)?P??60?72X?7284?72????
1212??12
??(1)??(?1)?2?(1)?1
?0.68248.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概
率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））.试求： （1） 该电子元件损坏的概率α;
(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β。(1991研考) 【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}，
A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。 由X~N（220，252）知
P(A1)?P(X?200)
?X?220200?220??P???
2525????(?0.8)?1??(0.8)?0.212P(A2)?P(200?X?240)
?200?220X?220240?220??P????
252525????(0.8)??(?0.8)?0.576P(A3)?P(X?240)?1?0.212?0.576?0.212
由全概率公式有
??P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.0642
i?13由贝叶斯公式有
??P(A2|B)?P(A2)P(B|A2)?0.009
P(B)49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y). (1988
研考)
?1,1?x?2【解】fX(x)??
0,其他?因为P（1 当y≤e2时FY（y）=P(Y≤y)=0. 2X当e2 . . ?P(1?X?1lny) 21lny?1 2 ??1?lny21dx?当y≥e4时，FY(y)?P(Y?y)?1 ?0,y?e2?即 F)???1Y(ylny?1,e2?y?e42 ???1,y?e4?12故 f?,e?y?e4Y(y)??2y ??0,其他50.设随机变量X的密度函数为 fx)=??e?x,x?0,X(0,x?0. ?求随机变量Y=eX的密度函数fY(y). 【解】P（Y≥1）=1 当y≤1时，FY(y)?P(Y?y)?0 当y>1时，FXY(y)?P(Y?y)?P(e?y)?P(X?lny) ??lny0e?xdx?1?1y ?即 F?1?1y,y>1Y(y)?? ??0,y?1?故 fy)??1?y2,y>1Y( ??0,y?151.设随机变量X的密度函数为 f1X(x)= π(1?x2), 求Y=1?3x的密度函数fY(y). 【解】FY(y)?P(Y?y)?P(1?3X?y)?P(X?(1?y)3) . (1995研考) . ?? 11dx?arctgx(1?y)3π(1?x2)π??(1?y)3?1?π3??arctg(1?y)?π??2? 3(1?y)2故 fY(y)? 6π1?(1?y)52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布. （1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布； （2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993 研考） 【解】（1） 当t<0时，FT(t)?P(T?t)?0 当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有 FT(t)?P(T?t)?1?P(T?t)?1?P(N(t)?0)?1?e??t ?1?e??t,t?0即 FT(t)?? t?0?0,即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。 e?16??8?（2） Q?P(T?16|T?8)?P(T?16)/P(T?8)??8??e e53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=?1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{?1 件下，X在{?1，1}内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F（x）=P{X≤x}. (1997研考) 【解】显然当x 由题知P(?1?X?1)?1?115?? 848x?1 2当?1 ?P(X?,?1?X?1)?P(X?x,X??1)?P(X?x,X?1)?P(X?x,?1?X?1)?P(X?x,x??1) ?P(X?x|?1?X?1)P(?1?X?1)?P(X??1) x?15151???(x?1)?288168当x=?1时，F(x)?P(X?x)?P(X??1)?故X的分布函数 1 8. . x??1?0,?51?F(x)??(x?1)?,-1?x<1 8?16x?1??1,54. 设随机变量X服从正态分N（μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考) 解： 依题意 X??1?1N(0,1)， Y??2?2X??1N(0,1)，则 P{X??1?1}?P{?1Y??2?1?11}， P{Y??2?1}?P{因为P{X??1?1}?P{Y??2?1}，即 ?2??2}. P{X??1?11?1?1}?P{Y??1?2?1?2}， 所以有 ?1?1?2，即?1??2. 单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。 .