πππ
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
626πππ
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
666
1．(2020·厦门一模)已知函数y＝2sin(wx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则( )
π
A．w＝2，θ＝
21πC．w＝，θ＝
24答案 A
π解析 ∵y＝2sin(wx＋θ)为偶函数，∴θ＝.
2
∵图像与直线y＝2的两个交点横坐标为x1，x2，|x2－x1|min＝π，即T＝π.
πx2．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是
3( )
A．6 C．8 答案 C
2πT解析 周期T＝＝6.由题意，T＋≤t，得t≥7.5.故选C.
π43
π
3．(2020·衡水调研卷)将函数y＝sin(6x＋)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，
4π
再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是( )
8
π
A．(，0)
2π
C．(，0)
9答案 A
解析 将函数y＝sin(6x＋sin(2x＋
π
)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数y＝4
π
B．(，0)
4π
D．(，0)
16B．7 D．9
1π
B．w＝－，θ＝
22π
D．w＝2，θ＝
4
ππππ
)的图像，再向右平移个单位，得到函数f(x)＝sin[2(x－)＋]＝sin2x4884
π
的图像，而f()＝0，故选A.
2
4．(2020·合肥第一次质检)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像关于直线xππ
＝对称，且f()＝0，则ω的最小值为________． 312
答案 2
ππ
解析 由题意得ω＋φ＝k1π＋(k1∈Z)，
32π
ω＋φ＝k2π(k2∈Z)， 12
ππ
∴ω＝(k1－k2)π＋(k1，k2∈Z)， 42∴ω＝4(k1－k2)＋2(k1，k2∈Z)， ∵ω>0，∴ω的最小值为2.
5．(2020·湖北文)已知函数f(x)＝3sinx－cosx，x∈R.若f(x)≥1，则x的取值范围为( )
π
A．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
3π
B．{x|kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z}
3π5π
C．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
66π5π
D．{x|kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z}
66答案 A
ππππ
解析 f(x)＝2sin(x－)，由f(x)＝2sin(x－)≥1，得2kπ＋≤x－≤2kπ＋
66665ππ
(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，故选A. 63
6．已知函数f(x)＝cosx－sinx＋23sinxcosx＋1. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
ππ
(2)当x∈[－，]时，f(x)－3≥m恒成立，试确定m的取值范围．
63π2π
答案 (1)π [＋kπ，＋kπ](k∈Z) (2)(－∞，－3]
63
解 (1)f(x)＝cosx－sinx＋23sinxcosx＋1＝3sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋＋1.
2
22
2
π
)6
2π
因此函数f(x)的最小正周期为＝π.
2ππ3π
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 262π2π
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)． 63
π2π
故函数f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
63ππππ5π
(2)当x∈[－，]时，2x＋∈[－，]，
63666π
所以－1≤2sin(2x＋)≤2，因此0≤f(x)≤3.
6因为f(x)－3≥m恒成立， 所以m≤f(x)min－3＝0－3＝－3. 故m的取值范围是(－∞，－3]．
1．(2020·安徽卷理)动点A(x，y)在圆x＋y＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，13
12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵
22坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] C．[7,12] 答案 D
2ππ
解析 由已知可得该函数的最小正周期为T＝12，则ω＝＝，又当t＝0时，A的
T613ππ
坐标为(，)，∴此函数为y＝sin(t＋)，t∈[0,12]，可解得此函数的单调递增区间
2263是[0,1]和[7,12]．
2．(2020·合肥质检)定义一种运算：(a1，a2)?(a3，a4)＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(3，2sinx)?(cosx，cos2x)的图像向左平移n(n>0)个单位长度，所得图像对应的函数为偶函数，则n的最小值为________．
答案
5π
12
B．[1,7] D．[0,1]和[7,12]
2
2
π
解析 由新定义可知f(x)＝3cos2x－sin2x＝2cos(2x＋)，所以函数f(x)的图像向
6
5π5π左平移个单位长度后为y＝－2cos2x的图像，该函数为偶函数，所以n的最小值为.
1212
3．(2020·德州一模)若函数y＝f(x)同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为π；(2)πππ
图像关于直线x＝对称；(3)在区间[－，]上是增函数，则y＝f(x)的解析式可以是
363______．
答案 y＝cos(2x－2
3
π)．
4．已知函数f(x)＝3(sin2
x－cos2
x)－2sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期；
(2)设x∈[－π3，π
3]，求f(x)的值域和单调递增区间．
解析 (1)∵f(x)＝－3(cos2
x－sin2
x)－2sinxcosx ＝－3cos2x－sin2x ＝－2sin(2x＋π
3)，
∴f(x)的最小正周期为π. (2)∵x∈[－ππ
3，3
]，
∴－ππ3π
3≤2x＋3≤π，∴－2≤sin(2x＋3)≤1.
∴f(x)的值域为[－2，3]．
∵当y＝sin(2x＋π
3)单调递减时，f(x)单调递增，
∴π2≤2x＋πππ3≤π，即12≤x≤3. 故f(x)的单调递增区间为[π12，π
3
]．
5．(2020·沧州七校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，像
>0，|φ|<π
2)的部分图
ω
(1)求f(x)的最小正周期及解析式；
π
(2)设g(x)＝f(x)－cos2x，求函数g(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
2
T2πππ
解 (1)由题图可得A＝1，＝－＝，
2362
所以T＝π.所以ω＝2.
ππ
当x＝时，f(x)＝1，可得sin(2×＋φ)＝1，
66ππ因为|φ|<，所以φ＝. 26
π
所以f(x)的解析式为f(x)＝sin(2x＋)．
6π
(2)g(x)＝f(x)－cos2x＝sin(2x＋)－cos2x
6ππ
＝sin2xcos＋cos2xsin－cos2x
66＝
31πsin2x－cos2x＝sin(2x－)． 226
πππ5π因为0≤x≤，所以－≤2π－≤. 2666
πππ
当2x－＝，即x＝时，g(x)有最大值，最大值为1；
623ππ1
当2x－＝－，即x＝0时，g(x)有最小值，最小值为－.
662
6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为2π.
(1)求f(x)的解析式；
πππ15π
(2)若α∈(－，)，f(α＋)＝，求sin(2α＋)的值．
32333