【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(二十二) 理 新人教版

解 (1)∵函数f(x)的图像上相邻的两个最高点之间的距离为2π,∴T=2π,则ω=2π

=1.∴f(x)=sin(x+φ).

∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+(k∈Z).

2

ππ

又0≤φ≤π,解得φ=,则f(x)=sin(x+)=cosx.

22π1ππ

(2)由已知得cos(α+)=,∵α∈(-,),

3332π5ππ22

∴(α+)∈(0,),则sin(α+)=.

36335π2π

∴sin(2α+)=-sin(2α+) 33ππ42

=-2sin(α+)cos(α+)=-.

339

7.已知函数f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π). (1)求函数f(x)的最小正周期;

ππ

(2)若函数y=f(2x+)的图像关于直线x=对称,求φ的值.

46解 (1)∵f(x)=sin(x+φ), ∴函数f(x)的最小正周期为2π.

ππ

(2)函数y=f(2x+)=sin(2x++φ),

44

y=sinx的图像的对称轴为x=kπ+(k∈Z),

ππ

令2x++φ=kπ+,k∈Z,

42

ππ

将x=代入上式,得φ=kπ-(k∈Z).

61211π∵0<φ<π,∴φ=. 12

π

8.已知函数f(x)=msinx+ncosx,且f()是它的最大值(其中m,n为常数且mn≠0),

4给出下列命题:

π

①f(x+)为偶函数;

4②函数f(x)的图像关于点(

,0)对称; 4

π2

③f(-)是函数f(x)的最小值;

4

④函数f(x)的图像在y轴右侧与直线y=的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,

2

mP3,P4,…,则|P2P4|=π;

⑤=1.

其中真命题 是________.(写出所有正确命题的序号) 答案 ①②③⑤

解析 由题意得f(x)=msinx+ncosx =m+nsin(x+φ)(tanφ=). π

因为f()是它的最大值,

4

πππ所以+φ=2kπ+(k∈Z),φ=2kπ+. 424所以f(x)=m+nsin(x+2kπ+π22

=m+nsin(x+).

4

222

2

mnnmπ) 4

且tanφ==tan(2kπ+)=1,

m4

即=1.故f(x)=2|m|sin(x+

nmπ). 4

πππ

①f(x+)=2|m|sin(x++)=2|m|cosx,为偶函数,①正确;

4447π7ππ7π

②当x=时,f()=2|m|sin(+)

4444=2|m|sin2π=0,

所以f(x)的图像关于点(,0)对称,②正确;

43ππ3ππ③f(-)=2|m|sin(-)=-2|m|sin 4442=-2|m|,取得最小值,③正确;

π

④根据f(x)=2|m|sin(x+)可得其周期为2π,

4

由题意可得P2与P4相差一个周期2π,即|P2P4|=2π,④错误;

⑤=1,显然成立,⑤正确. 9.(2020·浙江文)

mn

ππ

已知函数f(x)=Asin(x+φ),x∈R,A>0,0<φ<.y=f(x)的部分图像如图所示,P,

32

Q分别为该图像的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).

(1)求f(x)的最小正周期及φ的值;

(2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,求A的值.

32π

解析 (1)由题意得,T==6.

π3

π

因为P(1,A)在y=Asin(x+φ)的图像上,

所以sin(+φ)=1.

又因为0<φ<,

所以φ=.

6

(2)设点Q的坐标为(x0,-A),

ππ3π

由题意可知x0+=,得x0=4,所以Q(4,-A),

3622π

如图,连接PQ,在△PRQ中,∠PRQ=,由余弦定理得

3

RP2+RQ2-PQ2A2+9+A2-9+4A212

cos∠PRQ===-,解得A=3. 2

2RP·RQ22A·9+A又A>0,所以A=3.

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