解 (1)∵函数f(x)的图像上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T＝2π，则ω＝2π
＝1.∴f(x)＝sin(x＋φ)．
Tπ
∵f(x)是偶函数，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
2
ππ
又0≤φ≤π，解得φ＝，则f(x)＝sin(x＋)＝cosx.
22π1ππ
(2)由已知得cos(α＋)＝，∵α∈(－，)，
3332π5ππ22
∴(α＋)∈(0，)，则sin(α＋)＝.
36335π2π
∴sin(2α＋)＝－sin(2α＋) 33ππ42
＝－2sin(α＋)cos(α＋)＝－.
339
7．已知函数f(x)＝sinxcosφ＋cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π)． (1)求函数f(x)的最小正周期；
ππ
(2)若函数y＝f(2x＋)的图像关于直线x＝对称，求φ的值．
46解 (1)∵f(x)＝sin(x＋φ)， ∴函数f(x)的最小正周期为2π.
ππ
(2)函数y＝f(2x＋)＝sin(2x＋＋φ)，
44
y＝sinx的图像的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，
ππ
令2x＋＋φ＝kπ＋，k∈Z，
42
ππ
将x＝代入上式，得φ＝kπ－(k∈Z)．
61211π∵0<φ<π，∴φ＝. 12
π
8．已知函数f(x)＝msinx＋ncosx，且f()是它的最大值(其中m，n为常数且mn≠0)，
4给出下列命题：
π
①f(x＋)为偶函数；
4②函数f(x)的图像关于点(
7π
，0)对称； 4
π2
3π
③f(－)是函数f(x)的最小值；
4
④函数f(x)的图像在y轴右侧与直线y＝的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，
2
mP3，P4，…，则|P2P4|＝π；
⑤＝1.
其中真命题 是________．(写出所有正确命题的序号) 答案 ①②③⑤
解析 由题意得f(x)＝msinx＋ncosx ＝m＋nsin(x＋φ)(tanφ＝)． π
因为f()是它的最大值，
4
πππ所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，φ＝2kπ＋. 424所以f(x)＝m＋nsin(x＋2kπ＋π22
＝m＋nsin(x＋)．
4
222
2
mnnmπ) 4
nπ
且tanφ＝＝tan(2kπ＋)＝1，
m4
即＝1.故f(x)＝2|m|sin(x＋
nmπ)． 4
πππ
①f(x＋)＝2|m|sin(x＋＋)＝2|m|cosx，为偶函数，①正确；
4447π7ππ7π
②当x＝时，f()＝2|m|sin(＋)
4444＝2|m|sin2π＝0，
7π
所以f(x)的图像关于点(，0)对称，②正确；
43ππ3ππ③f(－)＝2|m|sin(－)＝－2|m|sin 4442＝－2|m|，取得最小值，③正确；
π
④根据f(x)＝2|m|sin(x＋)可得其周期为2π，
4
由题意可得P2与P4相差一个周期2π，即|P2P4|＝2π，④错误；
⑤＝1，显然成立，⑤正确． 9．(2020·浙江文)
mn
ππ
已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)，x∈R，A>0,0<φ<.y＝f(x)的部分图像如图所示，P，
32
Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
2π
(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝，求A的值．
32π
解析 (1)由题意得，T＝＝6.
π3
π
因为P(1，A)在y＝Asin(x＋φ)的图像上，
3π
所以sin(＋φ)＝1.
3π
又因为0<φ<，
2π
所以φ＝.
6
(2)设点Q的坐标为(x0，－A)，
ππ3π
由题意可知x0＋＝，得x0＝4，所以Q(4，－A)，
3622π
如图，连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝，由余弦定理得
3
RP2＋RQ2－PQ2A2＋9＋A2－9＋4A212
cos∠PRQ＝＝＝－，解得A＝3. 2
2RP·RQ22A·9＋A又A>0，所以A＝3.