注：本题可以使用电场强度叠加原理求解。即将柱面电荷分布微分成线电荷分布。 5．半径为R的不均匀带电球体，电荷体密度分布为
??Ar，式中r为离球心的距离?r?R?，A为常数，则
球体上的总电量Q? 。
[解] 取半径为r、厚度为dr的球壳。认为球壳内电荷分布是均匀的
dQ?4?r2dr?(r)?4?Ar3dr
RQ??04?r2?(r)drR?? A?4rdr??RA034
?6?116．如图所示，一质量m?1.6?10kg的小球，带电量q?2?10?C，悬于一丝线下端，
丝线与一块很大的带电平面成30角。若带电平面上电荷分布均匀，q很小，不影响带电平面上的电荷分布，求带电平面上的电荷面密度。 解：方法一：
???受力分析：小球在重力G?mg（垂直方向），绳中张力T（与带电平面成30度角）及静电??f?qE（水平方向）的共同作用下而处于受力平衡状态。其中E为无限大均匀带电平面（电荷面密度为?）产生的均匀电场，E??/(2?0)，方向应水平向左
Tcos??mg?0 qE?Tsin??0
? ??2?0mgtg??q2?8.85?10?12?1.6?10?6?9.8?2?10?1133 ?8.0?10?6（c/m2）
方法二：利用高斯定理
选择一个柱面为高斯面，柱面的轴垂直于带电平面，柱面包括带电小球并穿过带点平面。由于小球的带电量相对平面的带电量很小则小球的电量q在高斯面中忽略不计。
7．大小两个同心球面，半径分别为R1,R2?R2?R1?，小球上带有电荷q?q?0?，大球上带有电荷Q?Q?0?。试分别求出r?R1,r?R2,R1?r?R2时，离球心O为r处的电场强度。
解：由于电荷、电场分布具有球对称性，可利用高斯定理求场强。 取高斯面S1,S2,S3如图所示。
?S12，E14?r?0 E1?dS?0 （r ?? E1?0 (r〈R1) ??E2?dS?S2??q?0q E24?r??2q?0 r (R2>r>R1) 24??0rrq?QE34?r2? ?0E2??E3??q?Qr (r>R3) 24??0rr?8．两个无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2 ?R2?R1?，带有等值异号电荷，每单位 长度的电量为?（即电荷线密度）。试分别求出r?R1,r?R2,R1?r?R2时，离轴线为r处的电荷密度。 解：由于电荷、电场分布具有轴对称性，可利用高斯定理求场强，取长为L的同轴柱面加上、下底面为高斯面。当高斯柱面的半径r满足： r ?S1E1?dS?0， ??E1?2?l?0 ， E1?0 R2>r>R1时： ??S2E2?dS?????， ?0E2?2?rl???， ?0??r 2??0rr???????0，E3?0 r>R2时： ?E3?dS?S?09．半径为R、电荷体密度为?的均匀带电球体内部， /有一个不带电的球形空腔，空腔半径为R/，其中心O/到球心O的距离为a，如图所示，求OO的延长线上距球心O为r处的电场强度。 解：利用场强叠加原理，所求场强可看成半径R，电 / 荷密度?的均匀带电球体与半径R，电荷密度??的 / 均匀带电球体（球心位于O处）产生场强的叠加， E2??3EP?E?E。 这两球各自产生的场强具有球对称性，利用高斯定理，有 ???/43?R???Q??3? r?OP rr E?224??0r4??0r43?R?????/Q?/3??r?r?a r?O'P E??r'?r'224??0r?4??0r???r?/， rEP?E?E?????R?R??RR?r??r?r?[?] 3?0r2(r?a)2r3?0r23?0(r?a)23333?10．如果点电荷Q只受电场力作用而运动，其轨迹是否就是电场线？ 答案：不一定。 例如，在均匀电场中，如果正电荷以垂直于电场方向的初速度Q进入电场，带电粒子的运动轨迹是抛物线，与电场线不一致；当带电粒子初速度沿着电场强度的方向进入电场时，带电粒子的运动轨迹为直线，而且沿着电场强度方向， 运动轨迹与电场线方向一致。 11．如果高斯面上E处处为零，能否肯定高斯面内一定没有净电荷？ 答案：能肯定。 ?E?dS?QS??内/?0，S面上E=0，给出电通量为0，因此 Q内?0，即高斯面内的电荷代数和为零，也就是说，高斯面内 正负电荷等量。 如果高斯面内的正负电荷分开，这也称为高斯面内存在净电荷，则由于正负电荷分布的不均匀性，必将导致高斯面上电场强度不为零。 12．如果高斯面内没有净电荷，能否断定高斯面上E一定处处为零？ 答案：不能断定。 例如，点电荷的电场处处非0，任取不包含点电荷的闭合曲面，则高斯面内没有净电荷，但高斯面上电场强度不能处处为零。 13． ??SE?dS?1?0?Q表明静电场具有什么性质？ ii答案：静电场是有源场。电场线由正电荷出发，终止于负电荷。 作业3 1．电场中某区域内电场线如图所示，将一点电荷从M移到N点则必有[ ]。 A. 电场力的功AMN?0 B.电势能WM?WN C. 电势UM?UN D.电势UM?UN 答案：【C】 解：由于静电场的无旋性，电场强度的线积分与路径无关，由M点到N点的线积分（即M点与N点之间的电势差），可以取任意路径。 现取积分路径为：由M点到O点，处处与电场线（电场强度方向）垂直；由O点到N点，处处沿着电场线。则 ??UM?UO??E?dl?0， M?N?NUO?UN??E?dl??Edl?0 OOO因此，M点与N点的电势差为 UM?UN??NM????O?N?NE?dl?(UM?UO)?(UO?UN)??E?dl??E?dl??Edl?0 MOO所以，C正确，D错误。 由M点到O点，电场力所作的功为（设移动电荷量为q） AMN?q(UM?UN)?q?NM??E?dl 尽管 ?NM??E?dl?0，但不知q的正负，无法判断AMN的正负。当q?0，即移动正电荷时， 电场力作功为正，AMN?0；如果移动的是负电荷，电场力作功为负，AMN?0。 电势能是静电场中的带电粒子与电场共同拥有的能量。定义为，点电荷q在静电场中M点时，系统拥有的电势能为：从M点移动电荷q到电势零点的过程中，电场力所作的功， WM?AM?0???q?E?dl?qUM，静电势能等于电荷量与电荷所在点电势的乘积。电场力 0M所作的功等于静电势能的减少，静电场中M点与N点系统的电势能之差，等于移动点电荷q由M点到N点的过程中电场力所作的功 WM?WN?AM?N???q?E?dl?q(UM?UN) NM尽管UM?UN?0，但电势能之差还与电荷q有关，不能判断WM?WN的正负。 2．图中，A、B是真空中的两块相互平行的无限大均匀带电平面，电荷面密度分别为??和?2?，若将A板选作电势零点，则图中a点的电势是[ ]。 3?d??d B. 2?0?0?3?d3?d C. D. 2?0?0 A. 答案：【C】 d3?d解：板间电场为E????2??3?。Ua?UA??Edl?? 02?02?02?02?0解：建立直角坐标系，如图。 无限大带电平板A、B在两板间的电场强度分别为 ??2???????，E?(?i)?i E1?i22?0?02?0?两板间电场强度为 ???????3??E?E1?E2?i?i?i 2?0?02?0电场强度线积分的积分路径为：由板间中点a指向坐标原点 ，则 O（板A） UaO?Ua?UO??0Oa???O?E?dl??E?(?dxi)?a?03?3?d 3????i?(?dxi)???dx?d2?d2?2?000因为UO?0，所以 Ua?3?d 2?03．如图所示，两个同心球面。内球面半径为R1，均匀带电荷Q；外球面半径为R2，是一个非常薄的导体壳，原先不带电，但与地相连接。设地为电势零点，求在两球面之间、距离球心为r处的的P点的电场强度及电势。 ??解：取过点P1、半径r1(R1?r1?R2)的同心球面为高斯面S，?E?dS?Q0/?0 ，得到 S?Q2?。 r4?r1E?Q/?0(R1?r1?R2)，电场强度为E?24??0r1电势 UP??R2r??R2E?dl??rQ4??0r12R2??r?dr1??r?????4．一偶极矩为p?ql的电偶极子放在场强为E的均匀外电场中，p与E的夹角为?。求 ??0此电偶极子绕垂直于(p,E)平面的轴沿?增加的方向转过180的过程中，电场力做的功。 解：设偶极子正电荷初始位置为a，负电荷初始位置为b。转动后正电荷在b处，负电荷在a处。如图，所作的功相当于，把正电荷?q从a点移到b点电场力做功A(?)与把负电荷?q从b点移到a点电场力做功A(?)之和。 ?b?A?A(?)?A(?)?q(Ua?Ub)?(?q)(Ub?Ua)?2q(Ua?Ub)?2q?E?dl a?????bb?由于p?qba，2q?E?dl?2qE??dl?2qE?ab??2qEbacos???2pEcos? aa?故有A?2qE?ab??2pEcos? 。（注意电偶极子的方向是由负电荷指向正电荷） 11dr1?(?) 24??0rR24??0r1QQ 5．均匀带电球面，半径为R，电荷面密度为?。试求离球心为r处一点P的电势。 设?1?P点在球内。?2?P点在球面上。（3）P点在球面外。 解：由于球对称性，由高斯定理求得场强分布 E内?0 (r ???4?R2?R2??? (r>R) E外?rr224??0r?0r?选取无限远处为电势零点，则