第六章 实数 6.1 平方根(3课时)
课程目标
一、知识与技能目标
1.通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。了解算术平方根与平方根的区别与联系。
2.对于任意有理数都能区分其“＋”、“－”性，运用计算器已势在必行。 二、过程与方法目标
采用类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？ 三、情感态度与价值观目标
1.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。 2.了解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情。
教材解读
本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。
学情分析
上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。
第１课时
一、创设情境，导入新课
玲玲家最近喜事不断，家里新购了一套房子，全家欢欢喜喜地搬进新居，爸爸妈妈又增加了工资。条件改善了，为了给玲玲一个好的学习环境，爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业。爸爸问玲玲：“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子？”玲玲认为正方形桌子更大，可以多堆点书，又可以有足够的位置写字，所以她更喜欢正方形桌子。于是爸爸根据她的喜爱为她购置了一张正方形桌子，玲玲量了量课桌的边长为100cm，你能算出这张桌子的周长和面积吗？当然可以了，?可是如果玲玲更直接地告诉爸爸“我想要一张面积约为125dm的正方形桌子”。?请问她爸爸能为她购置到满意的桌子吗？当然可以，计算正方形的面积必须要知道正方形的边长，根据边长求面积是乘方运算，而根据面积求边长又是什么运算呢？这节课我们就来探讨这个问题。 二、师生互动，课堂探究 (一)提出问题,引发讨论
1.你能求出下列各数的平方吗? 0,-1,5,2.3,-
11,-3,3,1, 5512111)= (-3)2=9 32=9 12=1 ()2= 552525 能.02=0 (-1)2=1 52=25 2.32=5.29 (-
2.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗? 25,0,4,
411,,-,1.69 251444 能.由于52=25,(-5)2=25,故平方为25的数为5或-5. 02=0,故平方为0的数为0.
22=4,(-2)2=4,故平方为4的数为2或-2.
2242442)=,()2=,故平方为的数为±. 55255252512112111 (-)=,()=,故平方为的数为±. 12144121441441211 对于-这个数,没有哪个数的平方等于它,故平方为-的数找不到.
44 (- 1.32=1.69,(-1.3)2=1.69,故平方为1.69的数是±1.3.
又如:课本P160中的问题:小欧要裁一块面积为25dm2的正方形画布,由于正方形的面积为边长的平方,而边长不可能为负数,故此画布的边长应为5dm.依此可得正方形的面积若分别为1,9,16,36,
42时,此正方形的边长分别为1,3,4,6, .
525 由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的平方值时,只有一个,?也有些时候,我们已知某数的平方,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数是互为相反数,而如果是已知某物的面积求其边长时,其边长也只有一个值.?我们把已知平方值,求原数的问题称为求这个数的平方根. (二)导入知识,解释疑难 1.教材内容讲解
欲确定某数的平方根时,由以上过程发现,即使有两个值,?这两个值也是一对互为相反数,因此实际上我们若求出其中一个值,另一个值也就可以根据求出的数再写出它的相反数,我们就可先确定一个正数,把这个正数称为所给数的算术平方根.
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为a,读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0. 例1 求下列各数的算术平方根: (1)900 (2)1 (3)
49
(4)196 (5)0 (6)10-664 解:(1)∵302=900,故900的算术平方根是30,即900=30.
(3)∵(
7249497497)=,故的算术平方根是,即= 864648648 (4)∵142=196,故196的算术平方根是14,即196=14. (5)∵02=0,故0的算术平方根是0,即0=0. (6)∵(103)2=106,故10的算术平方根是103,即10---
?6 =103
-
例2:勤俭节约是中国人的一种美德,涛涛的爷爷是个能工巧匠,他把两张破损了一部分的桌面重新拼接成一张完整的正方形桌面,其面积为169dm2.?已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面,其中一张是边长为5dm的小板子,?试问另一张较大的桌面的边长应为多少dm才能拼出面积为169dm2的桌面?
分析:边长为5dm的正方形板子,其面积为25dm2,要拼出面积为169dm2的桌面,还需面积为169-25=144dm2的正方形桌面,故问题实际上转化为求144?的算术平方根,144即=12. 解:设另一张较大的桌面的边长为xdm,则有
x2+52=159,x2=169-25=144,而122=144
故144的算术平方根为12,即144=12,即另一张桌面的边长应为12dm. 练习:
1.求下列各式的值:
2 ①1.44; ②(?0.1); ③0.81?0.04; ④121. 42解:①1.44=1.2 ②(?0.1)=0.01=0.1 ③0.81?0.04=0.9-0.2=0.7 ④121497==
424 (2)若(a-1)2+│b-9│=0,则 A.
b的算术平方根是下列哪一个( ) a1 B.±3 C.3 D.-3 3分析:由于(a-1)2≥0.│b-9│≥0,
∴(a-1)2+│b-9│=0时,有a-1=0且b-9=0, ∴a=1,b=9, ∴
b9b==9,故的算术平方根是3. a1a 3. ?7有意义吗?为什么?
分析: ?7无意义,因为任何数的平方都是非负数,即a2≥0,故?7无意义. 2.探究活动
(1)当a为负数时,a2有没有算术平方根?其算术平方根与a有什么关系?当a为正数时,a2的算术平方根如何表示?a为0呢?举例说明你的结论. (2)x2-x+
1是否有算术平方根?如有请写出其算术平方根,如没有说明为什么? 4 解:当a为负数时,a2为正数,故a2有算术平方根,如a=-5时,a2=(-5)2=25,
a2=25=5,5是-?5的相反数,故a2<0时,a的算术平方根与a互为相反数,表示为-a.
当a2为正数时,a的算术平方根表示为a2,其值为a,即a2=a. 当a=0时, a=0 2?a(a?0)?2 由此可知a=|a|=?0(a?0)
??a(a?0)?
122111)=x-x+,而(x-)2一定是非负数,故x-x+也是非负数,故x2-x+有算2424111术平方根,其算术平方根的值要视x的取值而定.当x≥时,x2-x+的算术平方根为x-.?
2421111当x<时,x2-x+的算术平方根为-(x-)=-x.
2422 (2)因为(x- (三)归纳总结,知识回顾
这节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,?求一个数的算术平方根与求一个正数的平方幂正好是互逆的过程,因此,求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的开平方运算.只不过,只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根.
练习设计 (一)双基练习
1.某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______;?若某数的算术平方根为其相反数,
则这个数为______.
2.求下列各式的值:
0.16,1112, (?3) , 0.25, 10?2 25 3.3x-4为25的算术平方根,求x的值.
4.已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值. (二)创新提升
5.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值. (三)探究拓展
6.若x?4与4?y互为相反数,求xy的算术平方根.
参考答案
1.0,1 0; 2.0.4,
61-1
,3,0.5,10(); 3.x=3 5104.a=3,b=±4,则a-b=3-4或3-(-4),故a-b=-1或7. 5.a=5,b=2
6.x=4,y=4,xy=16,xy的算术平方根为4. 课后作业：
第2课时
一、创设情境，导入新课
某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点B落在点F的位置上,?再把多余部分FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面积为90cm2,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm2.?请根