练习:求下列各数的平方根. (1)0.49 (2)
49 (3)81 (4)0 (5)-100 36 解:(1)因为0.72=0.49,(-0.7)2=0.49,所以0.49的平方根为±0.7,即±0.49=±0.7
(2)因为(
7249749497749)=,(-)2= ,所以的平方根为±,即±=± 636636366636 (3)因为92=81,(-9)2=81,所以81的平方根为±9,即±81=±9. (4)因为02=0,所以0的平方根为0,即±0=0. (5)因为任何数的平方都不小于0,找不到平方为-100的数,故-100没有平方根. 将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比较,正数(或0)的算术平方根只是它们的平方根中的一部分,是正数(或0)的那部分,?而负的那个值正好是算术平方根的相反数,进一步可归纳出:
正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数. 0的平方根是0 负数没有平方根
例1:求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根.
(1) 1.44 (2)-81 (3)±9 100 解:(1)因为1.22=1.44,所以1.44=1.2,1.44的平方根为±1.2,即±1.44=±1.2. (2)因为92=81,所以-81=-9,81的平方根为±9,即±81=±9.
(3)因为(
329399)=,所以±=±,它正是的平方根. 100100100100100 故求正数的平方根时,只要知道它的算术平方根,就能确定了,?因为其算术平方根和算术平方根的相反数即为该数的平方根.?同样如果知道某数的算术平方根的相反数,则该数的平方根同样可确定.
面对问题(2)中的“宇宙速度”,我们知道第一宇宙速度v12=gR,其中g=9.8米/秒2,R≈6.4×106米,v22=2gR,则有v12≈9.8×6.4×106米2/秒2≈62.72×106米2/秒2=6.27×107米2/秒
2.v2≈125.44×106米2/秒2=1.2544×108米2/秒2
2
因此,v1是6.272×107的平方根,v2是1.2544×108的平方根.
那么v1=±6.272?107≈±7.9×103米/秒=±7.9千米/秒,v2=±1.2544?108 ≈±11.2×103米/秒=?±11.2千米/秒
但在实际问题中,速度是一个比0大的数,数学问题中不考虑速度的方向,故负值不合题意,应舍去,实际上,在某些具体问题中,要根据得出的答案是否有意义而取值.
例2:某矩形的面积为13200平方米,若其长是宽的3倍,试求出此矩形的长与宽分别是多少米?
解:设宽为x米,则长为3x米,其面积为3x2平方米 故3x2=13200 x2=4400 解得x=±4400=±66.33
但x为矩形的边长应大于0,故x=66.33米,3x=198.99米,即此矩形的长为198.?99米,宽为66.33米. 2.探究活动
对于正数x和y,有下列命题:
(1)若x+y=2,则xy≤1 (2)x+y=3,则xy≤ (3)若x+y=6,则xy≤3 根据以上三个命题所提供的规律猜想: (1)若x+y=9,则xy≤_______.
(2)若对于任意正数a、b,总有ab≤_____.
3,从中发现分母为2,分子为x、y的和,再验证其它的等226式:x+y=2时,则xy≤=1.当x+y=6时, xy≤=3.与已知相吻合,故有结论m>0,n>0,且
22am?n
m+n=a时,?则mn≤,即mn≤
22
9a?b ∴x+y=9时,则xy≤, ab≤
22 分析:当x+y=3时,有xy≤ 由此得a+b≥2, a?b即(a-b)2≥0 (三)归纳总结,知识回顾
本节课针对平方根与算术平方根的意义具体地分析何种情形用平方根,?何种情形用其算术平方根,得根据实际情况选择答案.
练习设计 (一)双基练习
1. 16的值为多少?16的平方根为多少? 的平方根呢? 2.如果一个正数的一个平方根为4,则另一个平方根为多少? 3.有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m2,求长和宽. 4.若(a-
11212112)= 2+a-2,现老师布置了一道化简题: +(a=) .甲、?乙?a?225aaaa两同学很快地写出其解答过程:
甲:
111121122+ =+=+-a=-a, ?a?2(?a)2aaaaaaa1142时,-a=10-=9 555a当a=
乙:
111111122+=+=+a-=a= ?a?2(?a)25aaaaaa 谁的答案是对的?为什么? (二)创新提升
5.已知a=2-1,b=22-6,c=6-2,试比较a、b、c的大小.(不用计算器) (三)探究拓展
6.若35的整数部分为a,小数部分为b,求a、b的值.
参考答案
1.4,±4,±2 2.-4 3.长为10m,宽为2.5m 4.甲的答案是对的,因为a=5.因为3>22 , 2所以a-b=6-1-2=3?3-1-2>3?22-1-2=(2?1)-1-2,
11 时,>a. 5a而c-a=6--1-2 =a-b>0 ∴b 6.∵25<35<36 ∴5<35<6 ∴35 的整数部分为5,小数部分为35-5,即a=5,b=35-5 6.2 立方根(1课时) 课程目标 一、知识与技能目标 1.了解立方根的概念,能够用根号表示一个数的立方根. 2.能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立方根与平方根的不同. 二、过程与方法目标 用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,?并能自我总结出平方根与立方根的异同. 三、情感态度与价值观目标 发展学生的求同存异思维,使他们能在复杂的环境中明辨是非,并做出正确的处理. 教材解读 由正方体的边长与体积的关系引出立方运算,转入立方根运算.于是发现立方根运算与立方运算互为逆运算,很容易联想到平方运算与平方根运算之间的关系,于是立方根的表示,运算等问题就留给同学去发现. 学情分析 在学习完平方根运算后继而学习立方根运算,?通过列举一些有代表意义的数求立方运算可发现立方根比平方根更容易掌握. 一、创设情境,导入新课 劳动节即将来临,学生们纷纷给他们敬爱的老师奉献他们的心意,刘老师所任教的两个班的科代表一同前往老师办公室,他们手中捧着两个形状、?大小一模一样的礼盒,并对老师说:“我代表我班的同学向老师敬礼，并以此小礼物代表我们对老师的敬意”.说完,两个科代表相视一笑,请老师猜一猜里面装的东西是否一样,里面物体的体积是否一样.老师知道,他们葫芦里肯定又要卖什么药了,?就郑重其事地说出两个盒子的大小形状虽然一样,但里面所装的物体的形状肯定不一样,并且它们的体积也相同,但一定有其它不相同的地方. 刘老师打开纸盒一看,?发现里面装的果然是两个不同形状的水晶一样的透明饰物,一个是圆球形的,一个是正方形,并且盒子里面各有一张纸条内容相同,经过测算,其体积为125cm2.同学们,你们知道这两个饰物除了形状不同以外还有什么不同吗??那就是球的半径与正方体的边长,你能求出这个半径和边长吗?要求出这两个量,?我们就来学习开方中的另一种运算:开立方运算. 二、师生互动,课堂探究 (一)提出问题,引发讨论 在学习平方根的运算时,首先是找出一些数的平方值,然后才根据其逆运算过程确定某数的平方根,同样,我们先来算一算一些数的立方. 23=______ ;(-2)3=______; 0.53=_____;(-0.5)3=______; ( 2323 )=_____;-()?=_____ ; 03=______. 33 (1)经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处?