2015安徽公务员考试行测考点大全:数量关系-不定方程问题

2015安徽公务员考试行测考点大全:数量关系-不定方程问题

知识框架

数学运算问题一共分为十四个模块,其中一块是计算问题。不定方程问题是计算问题中算式计算里面的一种。

公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型。解答不定方程时,一定要找出题中明显或隐含的限制条件,从而利用数的奇偶性、数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等技巧去解,理清解题思路,掌握解题方法,就能轻松搞定不定方程问题。

核心点拨

1、题型简介

未知数个数多于方程个数的方程(组),叫做不定方程(组)。通常只讨论它的整数解或正整数解。

在各类公务员考试中,最常出现的是二元一次方程,其通用形式为ax+by=c,其中a、b、c为已知整数,x、y为所求自然数。在解不定方程问题时,我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。

2、核心知识

形如,, 的方程叫做不定方程,其中前两个方程又叫做一次

不定方程。这些方程的解是不确定的,我们通常研究:

a.不定方程是否有解? b.不定方程有多少个解? c.求不定方程的整数解或正整数解。 (1)二元一次不定方程

对于二元一次不定方程问题,我们有以下两个定理: 定理1:

二元一次不定方程

A.若其中

,则原方程无整数解;

B.若

,则原方程有整数解;

C.若

转化为B的情形。

,则可以在方程两边同时除以,从而使原方程的一次项系数互质,从而

如:方程2x+4y=5没有整数解;2x+3y=5有整数解。 定理2:

若不定方程解。

有整数解,则方程有整数解,此解称为特

方程的所有解(即通解)为

(k为整数)。

(2)多元一次不定方程(组)

多元一次不定方程(组)可转化为二元一次不定方程求解。 例:

②-①消去x得y+2z=11 ③

③的通解为

,k为整数。

所以x=10-y-z=4-k,当k=0时,x最大,此时y=1,z=5。 (3)其他不定方程 3、核心知识使用详解 解不定方程问题常用的解法:

(1)代数恒等变形:如因式分解、配方、换元等;

(2)不等式估算法:利用不等式等方法,确定出方程中某些变量的范围,进而求解; (3)同余法:对等式两边取特殊的模(如奇偶分析),缩小变量的范围或性质,得出不定方程的整数解或判定其无解;

(4)构造法:构造出符合要求的特解,或构造一个求解的递推式,证明方程有无穷多解; (5)无穷递推法。

(6)特殊值法:已知不定方程(组),在求解含有未知数的等式的值时,在该等式是定值的情况下,可以采用特殊值法,且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。

夯实基础

1、二元一次不定方程 例1:

小明在商店买了若干块5分钱的糖果和1角3分钱的糖果,如果他恰好用了1块钱,问他买了多少块5分钱的糖果? A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】

B 【解析】

[题钥]

假设若干个未知数,由给定的条件列出不定方程。 [解析]

根据题意,设小明分别买了5分钱的糖果和1角3分钱的糖果x、y块,则有:

5x和100都能被100整除,则13y(<100)也一定能被5整除, 故y只能为5,(若y=0,则选项中没有正确答案,故排除)。 故x=7, 因此,选B。 例2:

有271位游客欲乘大、小两种客车旅游,已知大客车有37个座位,小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位,且车上没有空座位,则需要大客车的辆数是:

A. 1辆 B. 3辆 C. 2辆 D. 4辆 【答案】

B 【解析】

[题钥] 根据条件列出方程,再根据奇偶性进行计算。

[解析]

设大客车有x辆,小客车有y辆,则有: 37x+20y= 271。 根据数字的奇偶性判断: 可知20y为偶数,而271为奇数, 所以37x为奇数,故x为奇数,排除C、D。

将A、B代入方程,可知,只有当x=3时,y为整数,符合题意, 故选B。

2、多元一次不定方程(组) 例3:

甲购买3支签字笔、7支圆珠笔、1支铅笔共花费32元,乙买了4支同样的签字笔,10支圆珠笔,1支铅笔,共用去43元,如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支,共需多少元钱? A. 21 B. 11 C. 10 D. 17 【答案】

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