正余弦定理例题解析
例1、在△ABC中、如果a＝18、b＝24、A＝45?、则此三角形解的情况为( B ).
A. 一解
B. 两解 C. 无解 D. 不确定
解： 由 bsinA＜a＜b 故 有两解 选B
例2、在△ABC中、a＝5、b＝15、A＝30?、则c等于( C ).
A. 25
B. 5
C. 25或5
D. 以上都不对
解： 由 bsinA＜a＜b 故 有两解 选C
例3、在△ABC中、a∶b∶c＝3∶5∶7、则此三角形的最大内角是( B ).
A.150? B.120? C.90?
D.135?
1、所以最大角C为120?. 2解：设a＝3k、b＝5k、c＝7k、由余弦定理易求得cosC＝-
例4、(1) 在△ABC中、若B＝30?、AB＝23、AC＝2、则△ABC的面积是_____.
(2) △ABC中、若AB＝1、BC＝2、则角C的取值范围是_____. 解：(1) sinC＝
23sin30?3＝、于是C＝60?或120?、故A＝90?或30?、 22 A 1由S△ABC＝AB?AC?sinA可得答案23或3.
21 (2) 如图所示、由已知得BC＝2AB、又
ABBC＝ sinCsinAB 2 C 11 π ∴ sinC＝sinA≤ 又∵ 0＜C＜A ∴ 0＜C≤
2262
2
例5、在△ABC中、求证：asin2B+bsin2A＝2absinC
证明：由正弦定理a＝b知asin2B?bsin2A?asin2B?bsin2A sinAsinBabba?sinAsin2BsinB?sin2A??2(sinA?cosB?sinB?cosA)?2sin(A?B)?2sinC 故原式成立.
sinBsinA22例6、在锐角三角形ABC中、A、B、C是其三个内角、记S＝11? 求证：S＜1
1?tanA1?tanB11?tanA?1?tanB1?tanA?1?tanB证明： ∵ S＝1 ???1?tanA1?tanB(1?tanA)(1?tanB)1?tanA?tanB?tanAtanB∵ A?B＞90?、∴ 90??B＜A＜90?、∴ cotB＜tanA即tanA?tanB＞1、∴ S＜1.
例7、在△ABC中、如果lga-lgc＝lgsinB＝-lg2、且B为锐角、判断此三角形的形状.
解：由lga-lgc＝lgsinB＝-lg2、得 sinB＝
2、 2
又B为锐角、∴ B＝45?、又a＝c22 得sinA＝sinC22、
∴ 2sinC＝2sinA＝2sin(135?-C)、 ∴ sinC＝sinC+cosC、
∴ cosC＝0 即C＝90?、 故此三角形是等腰直角三角形.
例8、已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边.
① 若△ABC面积为
3、c＝2、A＝60?、求b、a的值. 2 ② 若acosA＝bcosB、试判断△ABC的形状、证明你的结论. 解：① 由已知得
31＝bcsinA＝bsin60?、∴ b＝1. 222
2
2
由余弦定理a＝b+c-2bccosA＝3、∴ a＝3. ② 由正弦定理得：2RsinA＝a、2RsinB＝b、
2RsinAcosA＝2RsinBcosB 即sin2A＝sin2B、
由已知A、B为三角形内角、∴ A+B＝90?或A＝B、 ∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.
例9、如图所示、已知在梯形ABCD中AB∥CD、CD＝2, AC＝19、∠BAD＝60?、求梯形的高.
解:作DE⊥AB于E、 则DE就是梯形的高.
∵ ∠BAD＝60?、 ∴ 在Rt△AED中、有DE=AD sin60?＝AD? 下面求AD(关键)：
∵ AB∥CD、∠BAD＝60?、 ∴ 在△ACD中、∠ADC＝120?、 又∵ CD＝2, AC＝19、∴ AC2＝AD2?CD2?2AD?CDcos?ADC, 即 (19)2＝AD2?22?2AD?2cos120? 解得AD＝3、(AD＝-5、舍). 将AD＝3代入①、 梯形的高DE＝3333AD＝?3＝. 222A E B 33、即 DE＝AD. ① 22 D C 例10、如图所示, 在△ABC中、若c＝4, b＝7、BC边上的中线AD＝解：∵ AD是BC边上的中线、∴ 可设CD＝DB＝x.
7, 求边长a. 2
?7?7?x???7?2?. ∵ c＝4, b＝7, AD＝, ∴ 在△ACD中、有cosC?22?7?x222
?7?7?x???222222?2??7?(2x)?4, 在△ACB中、有cosC?7?(2x)?4.∴
2?7?x2?7?2x2?7?2x222∴ x＝
9, ∴ a＝2x＝9. 2