第九章假设检验
一、大纲要求
(1)理解假设检验的基本思想,掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生的两类错误。
(2)了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验.
二、重点知识结构图
1.提出假设H0 2.找统计量 3.求临界值 4.求观察值 5.作出判断 假 设 检 验
基本步骤 两类错误 第一类错误：H0为真拒绝H0 第二类错误：H0为假接受H0 u检验法 正态总体的均值 和方差的检验 t检验法 ?2检验法 F检验法 三、基本知识
1.假设检验的几个术语 定义1给定k,不等式X??0?/n?k确定了关于X的一个区域
????????,??k???k,??0???0?
n??n??当X落入此区域内，就拒绝H0 (接受H1),称上式这类区域为H0的拒绝域,记为
Z.
不等式X??0?/n?k确定了关于X的另外一个区域
??????k,??k0?0?
nn??当X落入此区域内，就接受H0 (拒绝H1),称上类区域为接受域,记为Z.
不等式
????,?0?k?k称为临界值形式的接受域,??0?k?称为区nn??/n?X??0间形式的接受域.
定义2称H0为原假设(或零假设),称H1为备择假设(或备选假设、对立假设). 定义3称允许作判断有错误的概率?为显著性水平(或检验水平),它是用来
衡量原假设与实际情况差异是否明显的标准.
定义4称k为临界值
小概率原理:小概率事件在一次试验中是不大会发生的.
2.假设检验的两类错误
第一类错误:H0正确,但拒绝了它,这类错误称为“弃真错误”. 第二类错误:H0不正确,但接受了它,这类错误称为“存伪错误”.
3.假设检验的基本步骤 (1)提出假设;
(2)找统计量(这里要求该统计量含有待检验的参数); (3)求临界值(求接受域); (4)求观察值; (5)作出判断.
4.u检验法
已知方差?2,假设检验H0:???0. (1)提出假设H0:???0.
(2)找统计量.确定样本函数:u?检验参数?.
X??0?/n~N?0,1?,称其为u的统计量,它含有待
(3)求临界值.给定显著性水平??0???1?,查正态分布表求出临界值u?/2,使
P?u?u?/2???,即P?u?u?/2??1??.
(4)求观察值.根据给定的样本求出统计量u的观察值u1. (5)作出判断.若u1?u?/2,则接受H0;若u1?u?/2,则拒绝H0.
5.t检验法
未知方差?2,假设检验H0:???0. (1)提出假设H0:???0.
(2)找统计量.因为?2未知,这时u已不是统计量,所以不能用u检验法,这里用
S2来代替?2,找出统计量:t?X??0. S/n(3)求临界值.对给定显著性水平??0???1?,由t分布表查得临界值,使
P?t?t?/2???.
(4)求观察值.根据给定的样本算出统计量t的观察值t1. (5)作出判断.若t1?t?/2,则接受H0;若t1?t?/2,则拒绝H0.
6.?2检验法
2已知期望?,假设检验H:?2??0. 2(1)提出假设H:?2??0.
(2)找统计量.确定样本函数的统计量:
??212?0?(Xi?1ni??)2~?2?n?
(3)求临界值.对给定显著性水平??0???1?,由?2分布表查得临界值
22??/2?n?与?1??/2?n?,使
2P??2???/2?n????2, P??2??12??/2?n????2
2即P??12??/2?n???2???/2?n???1??
(4)求观察值.根据给定的样本算出统计量?2的观察值?12.
2222(5)作出判断.若?12??/2?n???2???,则接受;若或Hn???n?????0/21?/21??12??/2?n?,则拒绝H0.
7.F检验法
?12已知期望?1,?2,假设检验H0:2??
?2?12(1)提出假设H0:2??.
?2(2)找统计量
1F?n?12n2?2211i?1n2?(Xi?1n1i??1)22(Y??)?i2~F?n1,n2?
(3)求临界值.对给定显著性水平??0???1?,查F分布表,求得F?/2?n1,n2?及
F1??/2?n1,n2?,使
P?F?F?/2?n1,n2????2, P?F?F1??/2?n1,n2????2
即P?F1??/2?n1,n2??F?F?/2?n1,n2???1??
(4)求观察值.由所给定的样本算出统计量的值F1.
(5)作出判断.若F1??/2?n1,n2??F?F?/2?n1,n2?,则接受H0;若F1?F?/2?n1,n2?或F1?F1??/2?n1,n2?,则拒绝H0.
四、典型例题
例1有两批棉纱,为比较其断裂强度,从中各取一个样本,测试得到:
第一批棉纱样本n1?200,X?0.523kg,S1?0.218kg; 第二批棉纱样本n2?100,X?0.576kg,S2?0.176kg.
试验证两批棉纱断裂强度的均值有无显著差异(检验水平??0.05)?如果??0.1呢?
解这是两个正态总体的均值检验问题,检验H0:EX?EY.
X?EXY?EY~N?0,1?, ~N?0,1?
DX/n1DY/n22因为是大样本(n1,n2均较大),所以DX、DY可用S12、S2代入,近似有
2???S12?S2X~N?EX,?, Y~N?EY,?
n1?n2???2??S12S2故X?Y~N?EX?EY,??
n1n2??由于X与Y相互独立,若H0:EX?EY成立,则
2?S12S2?X?Y~N?0,??
?n1n2?故u?X?YSS?n1n22122~N?0,1?
因此,只要是大样本(容量较大时),不管总体X、Y是否服从正态分布,是否
DX?DY,都可以按u检验法?2已知的情况去做近似检验.
由已知得n1?200, X?0.523, S12?0.2182
2n2?100, X?0.576, S2?0.1762
故u?X?YSS?n1n22122?0.532?0.5760.2180.176?20010022??1.88
当??0.05时,查表得u?/2?1.96.
因u?1.88?u?/2?1.96,故H0被接受,即在检验水平??0.05下可以认为这两种棉纱的强力值无显著差异.