(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．在菱形ABCD中，∠A＝π→→
，则AB与AC的夹角为( ) 3
ππA. B. 635πC.
6
2πD. 3
π→→
解析： 由题意知AC平分∠BAD，∴AB与AC的夹角为.
6答案： A
2．设点O是?ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
→→→→→→→→①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB. A．①② C．①④
B．①③ D．③④
→→→→
解析： 寻找不共线的向量组即可，在?ABCD中，AD与AB不共线，CA与DC不共线；→→→→
而DA∥BC，OD∥OB，故①③可作为基底．
答案： B
→→→
3．若AD是△ABC的中线，已知AB＝a，AC＝b，则以a，b为基底表示AD＝( ) 1
A.(a－b) 21
C.(b－a) 2
1
B.(a＋b) 21
D.b＋a 2
→→→
解析： 如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而BD＝DC，即AD－1→→→→1→→
AB＝AC－AD，从而AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)．
22
答案： B
→→→
4．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝e1，DC＝e2，则OC＝( ) 1
A.(e1＋e2) 21
C.(2e2－e1) 2
1
B.(e1－e2) 21
D.(e2－e1) 2
→→→1→→
解析： 因为O是矩形ABCD对角线的交点，BC＝e1，DC＝e2，所以OC＝(BC＋DC)
21
＝(e1＋e2)，故选A. 2
答案： A
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析： ∵a，b是一组基底，∴a与b不共线， ∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
???3x－4y＝6，?x＝6，?∴解得?∴x－y＝3. ?2x－3y＝3，?y＝3，??
答案： 3
5k
6．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋(1－)e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k
2＝________．
5k1－2k1
解析： 由题设，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或. 233
2
1
答案： －2或 3
→→→→
7．如下图，在正方形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BD＝c，则在以a，b为基底时，AC→
可表示为________，在以a，c为基底时，AC可表示为________．
→
解析： 以a，c为基底时，将BD平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．
答案： a＋b 2a＋c
三、解答题(每小题10分，共20分)
→1→→1→→1→
8．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且BM＝BC，CN＝CA，AP＝AB，
333→→→→→
若AB＝a，AC＝b，试用a，b将MN，NP，PM表示出来．
→→→
解析： NP＝AP－AN 1→2→12＝AB－AC＝a－b， 33331→2→→→→
MN＝CN－CM＝－AC－CB＝
331221
－b－(a－b)＝－a＋b. 3333
1→→→→
PM＝－MP＝－(MN＋NP)＝(a＋b)．
3
→3→1→
9．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM＝AB＋AC.
44(1)求△ABM与△ABC的面积之比．
→→→
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设BO＝xBM＋yBN，求x，y的值． →3→1→
解析： (1)由AM＝AB＋AC可知M，B，C三点共线，
44
→→→→→→→→→→→→
如图，令BM＝λBC?AM＝AB＋BM＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－AB)＝(1－λ)AB＋λAC?
λ＝4，
S△ABM1所以＝，即面积之比为1∶4.
S△ABC4→→→→→y→(2)由BO＝xBM＋yBN?BO＝xBM＋BA，
2
x＋＝1，?x＝，?27x→→→
BO＝BC＋yBN，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线????.
4x6
?4＋y＝1?y＝7能力测评
y
4
1
→→
10．(2015·新课标全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( ) 1→4→→
A.AD＝－AB＋AC
33→4→1→
C.AD＝AB＋AC
33
→1→4→
B.AD＝AB－AC
33→4→1→
D.AD＝AB－AC
33
1→4→→→→→1→→1→1→
解析： 由题意得AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝AC＋AC－AB＝－AB＋AC.
33333答案： A
→→→
11．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，设AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．
1→→→1→
解析： 设AB＝a，AD＝b，那么AE＝a＋b，AF＝a＋b.
222→→2→→
又∵AC＝a＋b，∴AC＝(AE＋AF)，即λ＝μ＝，
334
∴λ＋μ＝.
34
答案：
3
12．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解析： (1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb， 则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
???λ＝1，?
由e1，e2不共线，得???2
?3λ＝－2λ＝－.??
?
3
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则 3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
???m＋n＝3，?m＝2，
∴???∴c＝2a＋b. ?－2m＋3n＝－1??n＝1.?
λ＝1，
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得 4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.