选修1-2 2.2.1直接证明与间接证明（一）（陈昌杰）
一、教学目标 1.核心素养
培养学生用综合法证明简单问题的推理技能，进一步培养学生逻辑推理能力，以及分析、解决问题的能力. 2.学习目标
了解直接证明的基本方法； 了解综合法的思维过程、特点； 会用综合法证明数学问题. 3.学习重点
掌握综合法的思维过程、特点及其解题步骤，会用综合法证明数学问题. 4.学习难点
根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，应用综合法证明较复杂的数学问题. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1
预习教材P36—P38，思考：什么是综合法？综合法的本质是什么？ 任务2
综合法的思考过程、特点分别是什么？ 任务3
综合法证明问题的方法、步骤是怎样的？ 2.预习自测
1.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件（ ） A.a2
b2＋c2－a2
解：C 若∠A为钝角，由余弦定理知cosA＝2bc<0，∴b2＋c2－a2<0.故答案为C. 2.设数列{an}为等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是{an}的前n项和，则（ ） A.S4 解：B ∵a2＋a8＝－6＋6＝0，∴a5＝0，又公差d>0，∴S5＝S4.答案为B uuuruuur3.在△ABC中，“ABgAC?0”是“△ABC为锐角三角形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 uuuruuur解：B 由ABgAC?0?∠A为锐角，而角B，C并不能判定，反之若△ABC为锐角三角形， uuuruuur一定有ABgAC?0.答案为B π 4.已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝8对称，则φ可能是（ ） πA.2 πB.－4 πC.4 3D.4π πππππ 解：C 由题意知，sin(4＋φ)＝±1，所以当φ＝4时，sin(4＋4)＝sin2＝1.答案为C （二）课堂设计 1.知识回顾 引例：阅读下列证明过程，回答问题. 已知实数x，y满足x＋y＝1，求证：2x?2y?22. 证明：因为x＋y＝1，所以2x?2y?22xg2y?22x?y?22， 故2x?2y?22成立. 1.本题的条件和结论是什么？ 条件：x＋y＝1，结论2x?2y?22. 2.本题的证明顺序是什么？ 从已知条件利用基本不等式到待证结论. 2.问题探究 问题探究一 综合法的意义 ●活动一 什么是综合法？ 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. 上面引例就是从条件出发，利用某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. ●活动二 综合法证明问题的模式 P?Q1?Q1?Q2?Q2?Q3LQn?Q P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论. 问题探究二 怎样用综合法处理问题 综合法证题的一般步骤是： (1)分析条件，选择方向.仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法. (2)转化条件，组织过程.把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路. (3)适当调整，回顾反思.解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取. ●活动一 用综合法证明不等式 例1 求证：（1）x2?3?2x； （2）a2?b2?2(a?b?1)； （3）若a?b?c，则：bc2?ca2?ab2?b2c?c2a?a2b. 【知识点：不等式的性质，实数的非负性，不等式的证明，实数的大小比较】 详解：（1）x2?3?2x?(x?1)2?2?0，∴x2?3?2x. （2）a2?b2?2(a?b?1)?(a?1)2?(b?1)2?0，∴a2?b2?2(a?b?1). （3）(bc2?ca2?ab2)?(b2c?c2a?a2b)?(bc2?c2a)?(ca2?b2c)?(ab2?a2b)