湖北省华中师大附中2020届高三教学质量联合测评
数 学（理科）
本试题卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5．考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。 1．已知集合A?{x|x?2?0}，B?{x|x?x?2?0}，则A?B? A．(??,2)
B．(??,1) D．（一1，2）
2C．（一2，1）
2．复平面内表示复数z?A．第一象限
C．第三象限
1?2i的点位于 1?2i
B．第二象限 D．第四象限
3．设两个单位向量a，b的夹角为A．1
2?，则|3a?4b|? 3
B．13 D．7
C．37
4．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出下列四个命题： ①若a//?，b//?，则a//b ②若a//?，a//?，则?//? ③若a??，b??，则a//b ④若a??，a??，则?//? 其中正确的个数是 A．1
B．2
1
C．3 D．4
5．下图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是
A．这14天中有7天空气质量优良
B．这14天中空气质量指数的中位数是103
C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好
D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日
6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中 A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年龄小 C．湖南人比河南人年龄大 D．海南人年龄最小 7．已知数列{an}对于任意正整数m，n，有am?n?am?an，若a20?1，则a2020? A．101
B．1
C．20
D．2020
x38．函数f(x)??sinx的图像大致为
3
x2y29．已知F1，F2分别为椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P是C上一点，满足
abPF2?F1F2，Q是线段PF1上一点，且F1Q?2QP，F1P?F2Q?0，则C的离心率为 6?2 B．2?1 210．函数f(x)的定义域为R，若f(x?1)与
A．f(x)是偶函数 C．f(x?3)是偶函数
A．
C．2?2
D．6?2
f(x?1)都是偶函数，则
B．f(x)是奇函数 D．f(x)?f(x?2)
11．将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不
同的分配方案共有 A．2640种 B．4800种 C．1560种 D．7200种 12．已知函数f(x)?sinx?sin2x，下列结论中错误的是
A．y?f(x)的图像关于点(C． f(x)的最大值为
?2,0)对称
B．y?f(x)的图像关于直线x??对称 D．f(x)是周期函数
3 2 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 . x2y214．已知F1，F2分别为双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，点P是以F1 F2
ab为直径的圆与C在第一象限内的交点，若线段PF1的中点Q在C的渐近线上，则C的
两条渐近线方程为 . 15．若直线y?kx?b是曲线y?ex?2的切线，也是曲线y?e?1的切线，则b? .
x216．设等比数列{an}满足a3?2，a10?256，则数列{4nan}的前n项和为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且acosB?4，bsinA?3. (1)求a；
(2)若△ABC的面积为9，求△ABC的周长． 18．（12分）
《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?1，AC?AA1?(1)证明：三棱柱ABC?A1B1C1是堑堵； (2)求二面角A?A1C?B的余弦值．
3，?ABC?60?.
19．（12分）
已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都
是1．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8，求直线l的方程．
3
20．(12分)
已知函数f(x)?sin2x?|ln(1?x)|，g(x)?sin2x?x.
(1)求证：g(x)在区间(0,?4]上无零点；
(2)求证：f(x)有且仅有2个零点．
21．（12分）
一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．
(1)求P0，Pl，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用Pn?2和Pn?1表示Pn； (2)求证：{pn?pn?1}(n?1,2,?,100)为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
?????的参数方程为??????在直角坐标系xOy中，曲线C
1?t2x?,1?t2（t为参数），以坐标原点O为2ty?1?t2极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
?cos??3?sin??4?0
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程； (2)求C上的点到l距离的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知a，b为正数，且满足a?b?1
11)(1?)?9； ab1125(2)求证：(a?)(b?)?.
ab4(1)求证：(1?
4
数学（理科）参考答案
一、选择题 1～5 DCBBB 二、填空题
6～10 DADAC
11～12 CC
16．(n?2n?3)22n?113．43? 14．y??2x 15．
11ln2? 22?6
三、解答题
17．【命题意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，
【解析】(1)在?ABC中， acosB?4，bsinA?3.
由正弦定理得
bsinAsinBsinA3??tanB?.…………………………3分
acosBsinAcosB4又acosB?4，所以cosB?0，所以cosB?4.……………………………5分 5所以a?5. ……………………………………………………………………6分
43，所以sinB?.………………………………………7分 551 因为△ABC的面积S?ABC?acsinB?9，所以c?6.………………………9分
2(2)由(1)知，cosB?222由余弦定理得b?a?c?2accosB?13，所以b?13.………………11分
所以△ABC的周长为a?b?c?11?13.……………………………………12分 18．【命题意图】本题主要考查二面角的求法，同时考查数学文化，
【解析】(1)在△ABC中，AB?1，AC?3，?ABC?60?，
由正弦定理得?ACB?30?，所以?BAC?90?，即BA?AC.………………3分 所以三棱柱ABC?A1B1C1是堑堵．………………………………………………5分 (2)以点A为坐标原点，以AB，AC，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图
所示的空间直角坐标系．………………………………………………………… 6分 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)A1(0,0,3).
于是AB?(1,0,0)，AC?(0,3,?3)，BC?(?1,3,0).……………7分 设平面A1 BC的一个法向量是n?(x,y,z)，
??n?A1C?0,??3y?3z?0, 则由?得?
???x?3y?0.?n?BC?0.?所以可取n?(3,1,1). ………………………9分
又可取m?AB?(1,0,0)为平面AA1C的一个法向量，………………………10分
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