第3课时 解一元二次方程-配方法
一、学习目标 1．掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤； 2．学会利用配方法解一元二次方程. 二、知识回顾 1．形如(x?m)2?n(n≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得ax+m= ±n ，从而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”. 2．如果方程能化成x＝p或(mx＋n)＝p(p≥0)的形式,那么利用直接开平方法可得x＝ ±或mx＋n= ±三、新知讲解 1．配方法的依据 配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式a2?2ab?b2?(a?b)2及直接开平方法． 2．配方法的步骤 （1）化—— 化二次项系数为1 如果一元二次方程的二次项系数不是1，那么在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1. （2）移——移项 通过移项使方程左边为 二次项 和 一次项 ，右边为 常数项 . （3）配——配方 在方程两边都加上 一次项系数一半的平方 ，根据完全平方公式把原方程变为22p
p ． (x?m)2?n(n≥0)的形式． （4）解——用直接开平方法解方程. 四、典例探究 1．配方法解一元二次方程 【例1】（2015?科左中旗校级一模）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） 2222A．x﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）=100 B．x+8x+9=0化为（x+4）=25 C．2t﹣7t﹣4=0化为（t﹣）=22 D．3x﹣4x﹣2=0化为（x﹣）=22 总结：配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）把二次项的系数化为1； （2）把常数项移到等号的右边； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （4）用直接开平方法解这个方程. 练1用配方法解方程： 22x﹣2x﹣24=0；（2）3x+8x-3=0；（3）x（x+2）=120. 2．用配方法求多项式的最值 22【例2】（2015春?龙泉驿区校级月考）当x，y取何值时，多项式x+4x+4y﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．
总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值. 2练2（2014?甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x+12x﹣5的值一定小于0． 练3（2014秋?崇州市期末）已知a、b、c为△ABC三边的长． 222（1）求证：a﹣b+c﹣2ac＜0． 222（2）当a+2b+c=2b（a+c）时，试判断△ABC的形状． 五、课后小测 一、选择题 221．（2015?延庆县一模）若把代数式x﹣2x+3化为（x﹣m）+k形式，其中m，k为常数，结果为（ ） 22A．（x+1）+4 B．（x﹣1）+2 22C．（x﹣1）+4 D．（x+1）+2 22．（2015?东西湖区校级模拟）一元二次方程x﹣8x﹣1=0配方后为（ ） 22A．（x﹣4）=17 B．（x+4）=15 222C．（x+4）=17 D．（x﹣4）=17或（x+4）=17 二、填空题 223．（2015春?盐城校级期中）一元二次方程x﹣6x+a=0，配方后为（x﹣3）=1，则a= ． 24．（2014秋?营山县校级月考）当x= 时，代数式3x﹣6x的值等于12． 三、解答题 25．（2015?东西湖区校级模拟）用配方法解方程：x﹣2x﹣4=0． 226．（2013秋?安龙县校级期末）试说明：不论x，y取何值，代数式x+4y﹣2x+4y+5的值总是正数．你能求出当x，y取何值时，这个代数式的值最小吗？ 7．（2014秋?蓟县期末）阅读下面的材料并解答后面的问题： 2小李：能求出x+4x﹣3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小华：能．求解过程如下： 2222因为x+4x﹣3=x+4x+4﹣4﹣3=（x+4x+4）﹣（4+3）=（x+2）﹣7 22而（x+2）≥0，所以x+4x﹣3的最小值是﹣7． 问题： （1）小华的求解过程正确吗？ 2（2）你能否求出x﹣3x+4的最小值？如果能，写出你的求解过程． 28．（2014秋?安陆市期末）阅读下面的解答过程，求y+4y+8的最小值． 222解：y+4y+8=y+4y+4+4﹣（y+2）+4 2∵（y+2）≥0 2∴（y+2）+4≥4 2∴y+4y+8的最小值为4 22仿照上面的解答过程，求m+m+4的最小值和4﹣2x﹣x的最大值．
229．（2014春?乳山市期末）已知代数式x﹣2mx﹣m+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值． 10．（2014秋?江阴市期中）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：2222因为3a≥0，所以3a+1≥1，即：3a+1有最小值1，此时a=0；同样，因为﹣3（a+1）≤0，所以﹣223（a+1）+6≤6，即﹣3（a+1）+6有最大值6，此时 a=﹣1． 2①当x= 时，代数式﹣2（x﹣1）+3有最 （填写大或小）值为 ． 2②当x= 时，代数式﹣x+4x+3有最 （填写大或小）值为 ． ③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？