哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊第六章 第7节（理）
[基础训练组]
1．(导学号14577597) 用数学归纳法证明“2n＞2n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2 C．5
B．3 D．6
解析：B [∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n＋1不成立； n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n＋1不成立； n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n＋1成立． ∴n的第一个取值n0＝3.]
111127
2．(导学号14577598)用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋n－1>(n∈N*)成立，
24642其初始值至少应取( )
A．7 C．9
B．8 D．10
1
1－n2127111
解析：B [1＋＋＋…＋n－1＝>，整理得2n>128，解得n>7，所以初始值至
241642
1－2少应取8.]
3．(导学号14577599)对于不等式n2＋n (1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 解析：D [在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．] 4．(导学号14577600)凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为( ) 和任何人呵呵呵 哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊A．f(n)＋n＋1 C．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n D．f(n)＋n－2 解析：C [边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．] 5．(导学号14577601)用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为( ) A．2k＋1 2k＋1C. k＋1 B．2(2k＋1) 2k＋3D. k＋1 解析：B [n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)·…·[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)[2(2k＋1)]， ∴应乘2(2k＋1)．] 6．(导学号14577602)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝k(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝ ________ 时，命题亦真． 解析：n为正奇数，假设n＝k成立后，需证明的应为n＝k＋2时成立． 答案：k＋2 7．(导学号14577603)若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是 __________ . 解析：∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2， ∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2； ∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 8．(导学号14577604)用数学归纳法证明 ?1＋1??1＋1??1＋1?…?1＋k1?>2k＋1 (k>1)，则当n＝k＋1时，左端应乘上_______， ?3??5??7??2－1?2 这个乘上去的代数式共有因式的个数是______________________________________． 1 解析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是?1＋2k＋1?，最后一个是 ?? ?1＋k＋1?，根据等差数列通项公式可求得共有?21?2－1? k＋1 －1?－?2k＋1?－－ ＋1＝2k－2k1＝2k1项． 2 1??1??1?k－1?1＋1＋1＋＋答案： ?2k＋1??2k＋3?…?2k1－1?2 9．(导学号14577605)平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2－n＋2个部分． 证明：(1)当n＝1时，n2－n＋2＝1－1＋2＝2，而一圆把平面分成两部分，所以n＝1命题成立． 和任何人呵呵呵 哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊(2)设n＝k时，k个圆分平面为k2－k＋2个部分，则n＝k＋1时，第k＋1个圆与前k个圆有2k个交点，这2k个交点分第k＋1个圆为2k段，每一段都将原来所在的平面一分为二，故增加了2k个平面块，共有(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分． ∴对n＝k＋1也成立． 由(1)(2)可知，这n个圆分割平面为n2－n＋2个部分． 11 10．(导学号14577606)已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.猜想数列{x2n}的单 21＋xn 调性，并证明你的结论． 11 解：由x1＝及xn＋1＝， 21＋xn2513 得x2＝，x4＝，x6＝， 3821 由x2＞x4＞x6猜想：数列{x2n}是递减数列． 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，已证命题成立． (2)假设当n＝k时命题成立，即x2k＞x2k＋2， 易知xk＞0， 那么x2k＋2－x2k＋4＝＝ x2k＋3－x2k＋111 －＝ 1＋x2k＋11＋x2k＋3?1＋x2k＋1??1＋x2k＋3? x2k－x2k＋2 ＞0， ?1＋x2k??1＋x2k＋1??1＋x2k＋2??1＋x2k＋3? 即x2(k＋1)＞x2(k＋1)＋2. 也就是说，当n＝k＋1时命题也成立． 结合(1)和(2)知命题成立． [能力提升组] 11．(导学号14577607)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( ) A．n＋1 n2＋n＋2C. 2 B．2n D．n2＋n＋1 解析：C [1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平n?n＋1?n2＋n＋2 面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．] 22 12．(导学号14577608)已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，f(n)都能被m整除，则m的最大值为( ) 和任何人呵呵呵