平面向量的数量积与平面向量应用举例
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝( ) A．－6 B．10 C．5
D．10
解析：选D ∵a＝(1，x)，b＝(2，－4)且a∥b，
∴－4－2x＝0，x＝－2，∴a＝(1，－2)，a·b＝10，故选D． 2．(2017·河南八市重点高中质检)已知平面向量a，b的夹角为＝2，则|b|等于( )
A．3 C．3
B．23 D．4
a，b＝8，所以2π
，且a·(a－b)＝8，|a|3
解析：选D 因为a·(a－b)＝8，所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b1
4＋2|b|×＝8，解得|b|＝4．
2
3．已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为( ) A．30° C．120°
B．60° D．150°
解析：选B (a＋2b)·(a－3b)＝－18， ∴a2－6b2－a·b＝－18，
∵|a|＝3，|b|＝2，∴9－24－a·b＝－18， ∴a·b＝3，∴
a，b＝
a·b31
＝＝， |a||b|62
∴a，b＝60°．
4．已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，则m的值是________． 解析：a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－2－m)， ∵(a＋b)⊥(a－b)，∴m(m＋2)－(m－4)(m＋2)＝0， ∴m＝－2． 答案：－2
5．△ABC中，∠BAC＝
2π―→―→―→―→
，AB＝2，AC＝1，DC＝2BD，则AD·BC＝________． 3
―→―→―→1―→―→
解析：由DC＝2BD，得AD＝(AC＋2AB)．
3―→―→1―→―→―→―→∴AD·BC＝(AC＋2AB)·(AC－AB)
3
1―→―→―→―→＝(AC2＋AC·AB－2AB2) 312?－1?－2×22?＝－8． ＝?1＋1×2×?2??3?38答案：－ 3
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|＝( ) A．2 C．2
B．3 D．4
解析：选C 由已知得2a－b＝(3，x)，而(2a－b)·b＝0?－3＋x2＝0?x2＝3，所以|a|＝1＋x2＝4＝2．
π2．(2017·贵州适应性考试)若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|
3＝
3
，则λ＝( ) 2
1A．－
21C．
2
B．D．
3－1 23 2
113
解析：选A 由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋
22411
＝0，解得λ＝－，故选A． 42
―→―→―→―→―→
3．平面四边形ABCD中，AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是( ) A．矩形 C．菱形
B．正方形 D．梯形
―→―→―→―→―→
解析：选C 因为AB＋CD＝0，所以AB＝－CD＝DC，所以四边形ABCD是平行―→―→―→―→
四边形．又(AB－AD)·AC＝DB―→·AC＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
4．(2016·重庆适应性测试)设单位向量e1，e2的夹角为则b在a方向上的投影为( )
A．－
33
2
B．－3 D．
33
2
2π
，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，3
C．3
解析：选A 依题意得e1·e2＝1×1×cos ＝3，
2π12＝－，|a|＝?e1＋2e2?2＝e2e21＋4e2＋4e1·32
9
－2a·b92
a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e2e2＝－，因此b在a方向上的投影为＝＝1－6e2＋e1·2|a|333－，故选A．
2
π―→―→
5．(2017·成都模拟)已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足AP＝λAB，λ∈R，
3―→―→若BD·CP＝－3，则λ的值为( )
1
A．
21C．
3
1B．－
21D．－
3
π―→―→
解析：选A 法一：由题意可得BA·BC＝2×2cos ＝2，
3―→―→―→―→―→―→BD·CP＝(BA＋BC) ·(BP－BC) ―→―→―→―→―→＝(BA＋BC)·[(AP－AB)－BC] ―→―→―→―→＝(BA＋BC)·[(λ－1)·AB－BC]
―→―→―→―→―→―→＝(1－λ)BA2－BA·BC＋(1－λ)BA·BC－BC2 ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， 1
∴λ＝，故选A．
2
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，3)，D(－1，3)． ―→―→
令P(x,0)，由BD·CP＝(－3，3)·(x－1，－3)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1． 1―→―→
∵AP＝λAB，∴λ＝．故选A．
2
6．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________． 解析：由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6， ∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，