第六章 三角函数
6.4.1 反三角函数
【课堂例题】
例1.写出下列角的弧度数：
1? 2(2)arcsin1?
(1)arcsin(3)arcsin(?(4)arcsin0?
例2.求下列各式中的角(用反正弦表示)： (1)sinx?
(2)sinx?2)? 22??,x?[?,] 5221,x?[0,?] 3
课堂练习 1.求值：
(1)arcsin(?1)?
3)? 2(3)arcsin0.457? (利用计算器，精确到0.01) (4)sin(arcsin0.6)? 2.求下列各式中的角x
13?(1)sinx?,x?[0,] (2)sinx??,x?[0,2?]
742(2)arcsin(?
3.不使用计算器计算：
(1)cos(2arcsin) (2)sin[arcsin
(3)tan(arcsin0.8)
4.已知x?[?1,1]，求证：
1311?arcsin(?)] 3412arcsin(?x)??arcsinx
第六章 三角函数
6.4.1 反三角函数
【知识再现】
1.一般地，对于正弦函数y?sinx，如果已知函数值y(y?[?1,1])，那么在 上有唯一的x值和它对应，记为x?arcsiny，称x为y的 .
2.arcsiny(y?[?1,1])表示一个 的角. 【基础训练】 1.填空：
13? ；arcsin(?)? ;
222arcsin1? ；arcsin(?)? .
2arcsin2.填空：
1sin(arcsin)? ； cos(arcsin1)? .
43.计算下列各角的弧度数(精确到0.0001)
(1)arcsin0.2672? ；
(2)arcsin(?0.3322)? . 4.?ABC中， 如果cosA??5.用反正弦函数表示下列角x： (1)sinx?
(3)sinx??,x?[?,3，那么A用反正弦函数可以表示为 . 51?5??,x?[?,]； (2)sinx?,x?[,?];
42522133?] 2
6.不使用计算器计算：
(1)sin(2arcsin); (2)cos(arcsin
(3)tan[arcsin(?)]； (4)cot(arcsin).
1325?arcsin)； 213121437第六章 三角函数
7.计算并回答问题：
arcsin(sin)? ；arcsin(sin1)? ；
35??arcsin(sin)? ；arcsin[sin(?)]? .
?6)?x5请问arcsin(sinx成立的充要条件是什么？(无需证明)
【巩固提高】
8.在?ABC中，已知A?arcsin15，B?arcsin513， 求C的精确值和近似值(精确值用反正弦来表示，近似值保留3位小数).
9.求证：arcsin35?arcsin45??2
(选做)10.(1)求证：当x?[??2,?2]时，arcsin(sinx)?x.
(2)已知sinx?a,a?[?1,1],x?[2k???,2k???22],k?Z，求x.
【温故知新】
11.已知函数f(x)?lg(3x?1),x?[0,3]，求f?1(x).
第六章 三角函数
【课堂例题答案】
???；(2)；(3)?；(4)0.
462211例2.(1)x?arcsin;(2)x?arcsin或x???arcsin
533例1.(1)
【课堂练习答案】 1.(1)??233112.(1)x?arcsin;(2)x???arcsin或2??arcsin
4777115?223.(1);(2);(3)
92124.证：sin[arcsin(?x)]??x，sin(?arcsinx)??sin(arcsinx)??x
又arcsin(?x)?[?;(2)??;(3)0.47;(4)0.6
,],?arcsinx?[?,]且y?sinx在[?,]上是单调增函数， 222222因此arcsin(?x)??arcsinx 证毕
【知识再现答案】 1.[?2.[???????????,]，反正弦函数 22,]上且正弦值为y 22【习题答案】 1.
?362412.,0 43.(1)0.2705;(2)?0.3386
44.??arcsin
51155.(1)x?arcsin;(2)x???arcsin;(3)x???arcsin
43524217210 6.(1);(2);(3)15?4;(4)39267.
,???,,??
,]
3652212?106?2.545rad?145.843 8.C???arcsin6533?4439.证：sin(arcsin)?，sin(?arcsin)?cos(arcsin)?
5525553???4??3?4又arcsin?[?,],?arcsin?[?,]，因此arcsin??arcsin 证毕
522252252510.(1)证：arcsin(sinx)?[?因此arcsin(sinx)?x 证毕
?,1,?,??,x?[?????,],x?[?,]，又sin[arcsin(sinx)]?sinx
2222??第六章 三角函数
(2)x?2k??[?,]又sin(x?2k?)?sinx?a，因此x?2k??arcsina， 22即x?2k??arcsina,k?Z
1x?111.f(x)?(10?1),x?[0,1]
3??