商高定理及其应用开题报告

商高定理及其应用开题报告

开题报告 商高定理及其应用

一、选题的背景、意义(所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势) (一)历史背景:

商高定理:商高定理是个历史悠久的著名定理,我国古人在这方面的研究留下了一系列宝贵的著作。《周髀算经》是我国古代流传下来的一部重要的数学著作,该书原名《周髀》,大约成书于公元2世纪。它包含了相当深刻的数学内容,其主要成就包括分数运算、商高定理(勾股定理)及其在天文学测量的应用。

该书卷首记述了一段精彩的对话:

昔者周公问于商高曰:“窃闻乎大夫善数也,请问昔者包牺立周天历度??夫天可不阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”

商高曰:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所生也。”由于此定理是商高发现的,所以称为“商高定理”。

基于上述渊源,所以我们把这一定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。这是中国最早关于勾股定理书面记载。

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家

赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。由此可见,我国在商高定理的研究上有悠久的历史和杰出的贡献。[1]

西方勾股定理又称毕达哥拉斯定理。在西方的文献中,勾股定理一直以古希腊哲学家毕达哥拉斯的名字来命名。据说毕达哥拉斯发现这个定理后斩了百头牛庆祝,因此又称“百牛定理”。但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明勾股定理的直接证据。希腊另一位数学家欧几里德Euclid,公元前三百年左右的人在编著《几何原本》时,认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的,所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”,以后就流传开了。[2]

费马大定理:公元1637年,费尔马在研究丢番图的《算术》一书时,想到了毕达哥拉斯问题的推广。费尔马在《算术》一书的空白处写到:“不可能将一个高于2次的幂写成两个同样幂次的和”。即当整数时,无正整数解。同时,还写下批注:“我有一个对这个命题的十分美妙的证明,很可惜这里空白太小写不下了!”费尔马没有想到,他随手写下这句话,竟成了几个世纪以来,一代又一代无数的世界级的优秀数学家,经过艰难曲折的奋斗,都未能证明这有名的费尔马大定理。[5]

(二)现状和发展方向:

如今,当我们谈到商高定理时,更多的是它在不定方程中的特殊地位。即商高不定方程方程的求解。对于商高方程的解,所研究的是非显然解中的本原解,即满足以下条件的解:。在这方面的研究成果已有很多,形式也是多样。从古代的毕达哥拉斯、柏拉图到当代我国的柯召、孙琦都各自不同的研究方法和结论。不仅如此,还引发各类不同的猜想。如:Teriai猜想、Tesmanowicz猜想、werner猜想等等。有些问题至今仍未解决。由此可见,商高不定方程的后续研究都是建

立在对商高方程解的深刻研究的基础之上。其中,最著名的要数是商高定理的一个推广:费马大定理。300百多年来已证实它是向人类智慧挑战的一个数学难题。有人曾悲观地说:“在我们这个星球上的人的智慧,还没有达到那样高的水平,能解决费尔马大定理”。费马大定理的证明经历了风风雨雨:1753年,大数学家欧拉作出了突出贡献,他证明时,费尔马大定理成立,实际上他证明了时,费尔马大定理成立。1825年,解析几何的创始人、大数学家高斯证明了时,费尔马大定理成立。1837年,大数学家柯西、库默尔与女数学家热尔曼同时证明了时,费尔马大定理成立。1847年德国数学家土尔曼,引进了理想概念,证明了当时,费马大定理成立。土尔曼虽未彻底解决费尔马大定理,但他为近世代数的产生奠定了基础。就在这段时期,德国科学院,为解决这一世界难题,悬尝10万马克,结果无人问津。在本世纪50年代,日本人谷山与志村提出了一个关于椭园曲线与模形式的猜想,随后,费赖与贝里特证明了:“如果费尔马大定理不成立,则谷山一志村猜想就错了”。这个结果给费尔马大定理的最终解决。展示出一线曙光。直到1993年英国数学家维尔斯沿着谷山一志村的猜想的方向,花了八年时间,在综合了近代数学的重大成就的基础上,天才地证明费尔马大定理。如今我们看到完整的费马大定理的证明。不仅如此,更多的证明方法不断涌出,为费马大定理又添加了不少魅力。[16]

而现在,人们则利用前人的研究成果进一步进行开拓,以用来探索那些历史遗留下来的尚未解决的数论难题,并对更高次更高元的不定方程的求解方法不断的尝试,得出一些著名的结论。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

数学思维的特点之一就是寻找各种关系,并由此去探索扩充某种思想的途