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极限思想及其在数学中的应用
作者：李美华
来源：《科教导刊》2013年第36期
摘 要 极限是高等数学中的重要概念，文章通过对极限思想发展历程的简述，分析了极限思想在数学尤其是微积分学中的应用，重点提到了其作为解决实际问题的方法论意义。 关键词 极限思想 研究方法 应用 中图分类号：G642 文献标识码：A Limit Idea and its Application in Mathematics LI Meihua
（South China Business College， Guangdong University of Foreign Studies， Guangzhou， Guangdong 510545）
Abstract Limit is an important concept in advanced mathematics. This article summarizes the development history of the limit idea， and analyzes the application of the limit idea in
mathematics， especially in differential and integral calculus， finally， highlights its position as a methodological significance to solve practical problems. Key words limit idea； research methods； application 1 极限思想的由来及其发展
极限思想来源于生产生活实践，为求某些实际问题的精确解答而产生。古希腊的安提芬（antiphon 480-403BC）采用“化圆为方”提出了用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的方法，数学家欧多克斯（Eudoxus of Cnidus， 408-355 BC）发展了穷竭法，认为“在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小”，即量是无限可分的，阿基米德进一步完善了“穷竭法”，并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积问题中。中国古代刘徽的“割圆术”认为 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，并由此得到“徽率”3.1416 。这正是极限思想的萌芽状态。但也正如希伯特尔所说“然而也没有任何其它的概念能像无穷那样需要加以阐明”，到16、17世纪真正意义上的极限才得以产生。牛顿、莱布尼兹在无穷小概念的基础上提出了数列极限的描述性定义：“如果当无限增大时，无限地接近于常数，那么就说以为极限”。但这种依赖于人的感觉的直观认识太模糊，鉴于数学的严密性原则，受19世纪分析严格化思潮的影响，柯西、魏尔斯特拉斯等数学家给出了用精确数学语言定量描述的极限定义。
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极限数学定义的产生促进了导数、积分等概念的严格建立，形成极限理论，抽象出极限思想，并使之得到成熟应用。 2 极限思想在数学中的作用
（1）极限思想具有重要的方法论意义，为实际问题的解决提供了独有的研究方法。 在初等数学中，从变量变化中研究发展趋势，着眼于问题的极限状态，或从动态中去把握其变化极限，亦或从静态中去联想其运动极限，也是解决问题的一种方法。 例1：在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A.（，） B.（，） C.（0，） D.（，）
解析：若直接分析求解本例，对人的空间想象和演绎归纳能力要求较高。如若能从静中去思变以及变的极限位置等角度考虑，将会简便很多。正棱锥在边数增加过程中，其底面正边形位置是相对不变的，可将其顶点看作是运动变化的。其顶点在运动中有两个极限状态，一个是向下无限接近于底面正边形的中心，此时相邻两侧面所成二面角趋于平角；另一个是向上运动趋于无穷远，正棱锥侧棱将无限接近与底面垂直的位置，此时的正棱锥将接近于正棱柱，相邻侧棱所成二面角趋于底面正边形的内角，故而可取得答案A。
极限思想的成熟也使得17世纪由于资本主义工业的大力发展、力学的需要随之产生的大量数学问题得到了严格定义上的解决。这其中包括用平均速度的极限求变速运动物体的瞬时速度，用瞬时速度的极限解释加速度；用割线无限逼近切线的思想确定物体在它运动轨迹任一点处的运动方向；求函数的最值问题；用无限分割以直代曲的研究方法，把曲线问题转化为直线问题，把曲面问题转化为平面问题，再通过极限使近似转变为精确，从而解决了曲线长度、曲线围成的图形面积、曲面围成的几何体体积以及物体的重心、薄型物体的质量等一系列问题。 例2：设 = （）在[]上非负且连续可微，求该曲线绕轴旋转后所得旋转体的侧面积。 解析：这实际上是一个无限分割以直代曲的积分问题。首先引入[]的分划 = {，，…，}。整个旋转体侧面积就分割成若干个小区间[，]上的近似小圆台侧面积，即 �HU = ，
其中�HU = ，再求和得到的近似值�HU。当分划无限进行下去，利用极限思想就可把旋转体的侧面积看成是�HU当||||→0时的极限值，即 = �HU。）若引入定积分的概念，�HU = 2 （），即为旋转体侧面积公式。
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在经济生活中，许多实际问题可以从定量的角度用数学符号和语言表述，从而转化为数学模型。极限思想方法就成为其研究方法之一。例：“农夫分牛”问题，即一个农夫在遗嘱中吩咐把19头牛分给大儿子，二儿子，小儿子，初看牛无法分，但可按照遗嘱一次次分下去，比如老大最后所得牛头数为：19 �？ + �？ + �？ + …，这是一个无穷级数问题，可利用其敛散性求得结果为10，其他两人同理可求最后分得的牛头数。再如日常生活中的“连续复利”问题、“谣言传播”问题，“城市垃圾处理”问题等也都可转化为数学极限问题来解决。
（2）在极限知识与极限思想方法的动态循环中抽象出的极限思想，为高等数学尤其是微积分学奠定了坚固的理论基石，克服了数学发展过程中直观与严密的矛盾。
极限贯穿于整个微积分学，在极限严格定义及极限思想方法的基础上，引出了连续函数、导数、定积分、多元函数偏导数、无穷级数的敛散性、重积分、曲线积分、曲面积分等概念，构成了微积分学的直接理论基础。例如定积分 （）概念的形成经历了积分区间[]的无限分割、近似代替、无限求和、最后取极限使近似变为精确等四个过程。从定积分的结果 （） = （）来看，它是一个和式的极限；从其概念形成过程来看，它又是极限思想的一个极致体现，既有无限与有限的相互转化，又有近似到精确的蜕变。
此外，极限也使得积分区间从有限发展到无穷，使被积函数从有界扩充到无界，拓展了微积分的研究范围。如广义积分 （）敛散性判断就是把无穷区间[]转化为有限区间[]，再根据时的极限存在与否来解决。
（3）极限论和极限思想的发展完善也为数学领域其它分支学科提供了理论上的支持和方法上的指导。
极限理论的产生促使人类对实数的认识不再仅仅局限于应用，对无理数也有了本质上的定义，从而建立了多种等价的严格的实数理论。在数学的其它分支学科，如概率论与统计学中的大数定理讨论的就是关于独立随机变量序列的平均结果的极限问题；中心极限定理就是研究大量独立随机变量的和近似服从正态分布，即以正态分布为极限，这其中都体现了极限思想的应用。 3 结语
极限思想的提出突破了常量研究范围，为运动、变化过程的研究提供了新的分析工具和分析基础，它在解决数学、物理学、经济学等实际问题中显示了其强大威力。极限思想的本质表现为过程与结果、有限与无限、近似与精确既表面上的对立又实质上的统一。极限思想需要我们在对极限理论与极限方法的反复探讨过程中去抽象其本质，把握其精髓。 参考文献
[1] 李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社，2000.