第一章 函数 极限 连续
知识点拔
1.1 函数
一、函数的概念
设D是一个非空数集，若存在一个对应法则f，使得对D内的每一个值x 都有唯一的y值与之对应，则称这个对应法则f是定义在数集D上的一个函数，记作：y?f(x)，其中x叫自变量，y叫因变量或函数，数集D称为函数的定义域，而数集z?{y|y?f(x),x?D}叫函数的值域.
如果x0?D，称函数f(x)在x0处有定义，函数f(x)在x0处的函数值记为y注释:①函数定义的两个要素：定义域和对应法则；
x?x0或f(x0).
x2?x?2②两个函数相等条件：定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数，如：f(x)?x?2与g(x)?x?1不同，因定义域不同；
f(x)?sin2x与g(x)?sinx不同，因对应法则不同；
f(x)?x2?sin2x?cos2x与g(t)?t2?1相同，也就是当两上函数的定义域和对应法则都相同
时，即使其自变量所用的字母不同，但两个函数相同.
③若定义域内的每一个x只对应一个函数值y，则称该函数为单值函数，若同一个x值可对应于多于一个的函数值y，这种函数称为多值函数.
二、函数的基本性质
1、函数的单调性：设函数在区间D上有定义，如果对?x1,x2?D且x1?x2，恒有f(x1)?f(x2)（或f(x1)?f(x2)），则称f(x)在区间D上严格单调增加（或严格单调减少）的.如果对于
?x1,x2?D
且x1?x2，有f(x1)?f(x2) (或f(x1)?f(x2))称f(x)在区间D上是单调增加（或单调减少）的.
注释：（1）函数的有界性与单调性是与某个区间密切相关的，区间不同函数的有界性与单调性也不同.
（2）增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减，增的倒数为减，减的倒数为增. （3）增函数与增函数或减函数与减函数的复合为单调增加函数. （4）增函数与减函数或减函数与增函数的复合为单调减少函数.
2、函数的奇偶性：设D是对称于原点的区间，若对?x?D，有f(?x)??f(x)，则称f(x)是奇函数；若有f(?x)?f(x)，称f(x)是偶函数.
注释：①奇（偶）函数的定义域必须是关于原点对称的区间. ②奇函数f(x)的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. ③奇偶函数的运算性质
1°奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数；奇函数与偶函数的代数和为非奇非偶函数；
2°偶数个奇（或偶）函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数； 3°一奇一偶函数的积是奇函数；
4°奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；
5°奇函数的原函数是偶函数；偶函数f(x)的原函数F(x)??f(t)dt是奇函数的充要条件是
axa?0，即在所有原函数中只有一个函数是奇函数.
④任何一个定义域是关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和的形式，即
f(x)?f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)?.
223、函数的有界性：设f(x)在区间D上有定义，如果存在M?0,使得对一切x?D都有则称f(x)在D上有界，否则称为无界，即对?M?0，若存在x0?D，使得f(x)?M，f(x)?M，
称f(x)在D上是无界的.
注释：函数的有界性与x的取值区间有关. 若函数y?1在区间(1,??)上有界，但在(0,1)内是x无界的，因为在这个区间上函数满足定义的M不存在，即函数的有界性与x的取值区间有关.
4、函数的周期性：设f(x)的定义域为D，若存在常数T?0，伎得对?x?D，必有x?T?D，并且有f(x?T)?f(x)成立，则称f(x)是以T为周期的周期函数，T称为函数f(x)的周期，所有周期中的最小正周期叫函数f(x)的周期.
注释：①周期函数的定义域必须是无限点集，但不能是有限区间. 如：y?tanx的定义域是（??,??）且x?k??②若f(x)的周期为T，则f(?x??)的周期为
?2,k?0,1,2....,
T? (??0)；
③周期函数的和、差、积仍为周期函数，且周期为各个函数周期的最小公倍数，如：
y?sin4x?cos3x周期是
2?2?,的最小公倍数2?，但也有例外，如：sinx,cosx的周期为2?，43但y?sinx?cosx的周期为?；
④周期函数的导数仍为周期函数，且周期不变； ⑤设f(x)是周期为T的函数，则它的原函数F(x)??xaf(t)dt为周期函数的充要条件是
?0Tf(x)dx?0，或者说，周期函数的原函数不一定是周期函数，如：f(x)?1?cosx是以2?为周
期的函数，但其任一个原函数F(x)?x?sinx?C不是周期函数.
⑥不是每一个周期函数都有最小正周期的,如:狄利克雷函数y???1,x有理数?0,x无理数任何有理数r都
是它的周期,即若x为有理数, x?r也是有理数,故有f(x)?1?f(x?r);若x为无理数, x?r也是无理数,故f(x)?0?f(x?r),可见r为f(x)的周期,但它没有最小的正周期. 又如：y?C，C为常数，它是周期为任意实数且没有最小正周期的周期函数.
三、反函数
设函数y?f(x)，其定义域为D，值域为M，如果对于M中的某一个y值（y?M），都可以从关系式y?f(x)确定唯一的x（x?D）与之对应，这样就确定了一个以y为自变量的新函数，记为：x?f?1(y)，称函数x?f?1(y)为函数y?f(x)的反函数，它的定义域为M，值域为D.