2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若limxx?0sinx(cosx?b)?5，则a =______，b =______. e?a(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ? 0，则
?2f??u?v.
11?x2xe,??x??22，则12f(x?1)dx?(3) 设f(x)???21??1,x?2?.
(4) 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩为 . (5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X?DX}?_______. (6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2), 总体Y服从正态分布N(μ2,σ2),X1,X2,?Xn1和
Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则
22n2?n1???(Xi?X)??(Yj?Y)?i?1j?1?? E???n1?n2?2??????.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数f(x)?|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界. 2x(x?1)(x?2)(B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
(D) (2 , 3). [ ]
(A) (?1 , 0).
1??f(),x?0(8) 设f (x)在(?? , +?)内有定义，且limf(x)?a， g(x)??x，则
x????0,x?0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.
(C) x = 0必是g(x)的连续点.
(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ ] (9) 设f (x) = |x(1 ? x)|，则
(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
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(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. (10) 设有下列命题：
(1) 若
[ ]
n?1??(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛.
n?1?n?1?? (2) 若
n?1?un收敛，则?un?1000收敛.
?un?1(3) 若lim?1，则?un发散.
n??unn?1 (4) 若
n?1?(un?vn)收敛，则?un，?vn都收敛.
n?1n?1???则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3).
(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ]
(11) 设f?(x)在[a , b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则下列结论中错误的是
(A) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (a). (B) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (b). (C) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0. (D) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)= 0.
[ D ]
(12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有
(A) 当|A|?a(a?0)时, |B|?a. (B) 当|A|?a(a?0)时, |B|??a. (C) 当|A|?0时, |B|?0. (D) 当|A|?0时, |B|?0. [ ]
*(13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A?0, 若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组 Ax?b的
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.
(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.
[ ]
(14) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α?(0,1), 数uα满足P{X?uα}?α,
若P{|X|?x}?α, 则x等于 (A) uα. (B) u21?α2. (C) u1?α. (D) u1?α. [ ]
2三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
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(15) (本题满分8分)
1cos2x求lim(2?). 2x?0sinxx(16) (本题满分8分)
求
??(Dx2?y2?y)d?，其中D是由圆x2?y2?4和(x?1)2?y2?1所围成的
平面区域(如图).
(17) (本题满分8分) 设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足
?a证明：
xf(t)dt??g(t)dt，x ? [a , b)，?f(t)dt??g(t)dt.
aaabxbb?axf(x)dx??xg(x)dx.
ab(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 ? 5P，其中价格P ? (0 , 20)，Q为需求量.
(I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed> 0)； (II) 推导
dR?Q(1?Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时， dP降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数
x4x6x8????(???x???) 2?42?4?62?4?6?8的和函数为S(x). 求：
(I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式. (20)(本题满分13分)
设α1?(1,2,0), α2?(1,α?2,?3α), α3?(?1,?b?2,α?2b), β?(1,3,?3), 试讨论当a,b为何值时,
(Ⅰ) β不能由α1,α2,α3线性表示;
(Ⅱ) β可由α1,α2,α3唯一地线性表示, 并求出表示式;
(Ⅲ) β可由α1,α2,α3线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.
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TTTT(21) (本题满分13分) 设n阶矩阵
?1b?b????b1?b? A?? . ???????bb?1???(Ⅰ) 求A的特征值和特征向量;
(Ⅱ) 求可逆矩阵P, 使得PAP为对角矩阵. (22) (本题满分13分)
设A，B为两个随机事件,且P(A)??1111, P(B|A)?, P(A|B)?, 令 432A发生，?1,?1,B发生， X??Y???0，A不发生，?0，B不发生.求
(Ⅰ) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ) X与Y的相关系数 ρXY; (Ⅲ) Z?X?Y的概率分布. (23) (本题满分13分)
设随机变量X的分布函数为
22??α?β??,x?α， F(x,α,β)??1???x??0，x?α，?其中参数α?0,β?1. 设X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,
(Ⅰ) 当α?1时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当α?1时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当β?2时, 求未知参数α的最大似然估计量.
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2004年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若limxx?0sinx(cosx?b)?5，则a =e?a1，b =
?4.
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为limxx?0sinx(cosx?b)?5，且limsinx?(cosx?b)?0，所以
x?0e?ax?0lim(ex?a)?0，得a = 1. 极限化为
limsinxx(cosx?b)?lim(cosx?b)?1?b?5，得b = ?4.
x?0ex?ax?0x因此，a = 1，b = ?4. 【评注】一般地，已知limf(x)＝ A， g(x)(1) 若g(x) ? 0，则f (x) ? 0；
(2) 若f (x) ? 0，且A ? 0，则g(x) ? 0.
(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ? 0，
?2f?则
?u?v?g?(v)g2(v).
【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg(y)，v = y，则f (u , v) =
u?g(v)， g(v)
?2fg?(v)?f1??2所以，，. ??ug(v)?u?vg(v)11?x2xe,??x?2?22，则1(3) 设f(x)???f(x?1)dx?1??1,x?22??12.
【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x ? 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令x ? 1 = t，1f(x?1)dx?1f(t)dt?1f(x)dt
??2111x2＝21xedx?1(?1)dx?0?(?)2?22?2?12?12??1??.
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