函数与导数经典例题--高考压轴题(含标准答案)

函数与导数

1. 已知函数f(x)?4x3?3tx2?6tx?t?1,x?R,其中t?R. (Ⅰ)当t?1时,求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)当t?0时,求f(x)的单调区间;

(Ⅲ)证明:对任意的t?(0,??),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.

【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、

函数的零点、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法,满分14分。 (Ⅰ)解:当t?1时,f(x)?4x3?3x2?6x,f(0)?0,f?(x)?12x2?6x?6

f?(0)??6.所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y??6x.

22 (Ⅱ)解:f?(x)?12x?6tx?6t,令f?(x)?0,解得x??t或x?t. 2

因为t?0,以下分两种情况讨论:

(1)若t?0,则t??t,当x变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下表: 2x t????,?? 2??+ ?t?,?t?? ?2?- ??t,??? + f?(x) f(x)

所以,f(x)的单调递增区间是???,?,??t,???;f(x)的单调递减区间是?,?t?。

??t?2??t?2?? (2)若t?0,则?t?t,当x变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下表: 2x ???,t? + t???t,?? 2??- ?t?,???? ?2?+ f?(x) f(x)

所以,f(x)的单调递增区间是???,?t?,?,???;f(x)的单调递减区间是??t,?.

?t?2????t?2?1 / 7

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可知,当t?0时,f(x)在?0,?内的单调递减,在?递增,以下分两种情况讨论: (1)当

??t?2??t?,???内单调?2?t?1,即t?2时,f(x)在(0,1)内单调递减, 2f(0)?t?1?0,f(1)??6t2?4t?3??6?4?4?2?3?0.

所以对任意t?[2,??),f(x)在区间(0,1)内均存在零点。

(2)当0?t?t??t??1,即0?t?2时,f(x)在?0,?内单调递减,在?,1?内单调递增,若2?2??2?77?1?t?(0,1],f????t3?t?1??t3?0.

44?2?

f(1)??6t2?4t?3??6t?4t?3??2t?3?0.

所以f(x)在?

?t?,1?内存在零点。 2???t??2?7474

若t?(1,2),f????t3??t?1???t3?1?0.

f(0)?t?1?0

所以f(x)在?0,?内存在零点。

所以,对任意t?(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点。 综上,对任意t?(0,??),f(x)在区间(0,1)内均存在零点。

??t?2?

21x?,h(x)?x. 32(Ⅰ)设函数F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求F(x)的单调区间与极值;

33(Ⅱ)设a?R,解关于x的方程lg[f(x?1)?]?2lgh(a?x)?2lgh(4?x);

241(Ⅲ)设n?N*,证明:f(n)h(n)?[h(1)?h(2)??h(n)]?.

6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.

解:(Ⅰ)F(x)?18f(x)?x2[h(x)]2??x3?12x?9(x?0),

2. 已知函数f(x)??F?(x)??3x2?12.

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令?F?(x)?0,得x?2(x??2舍去).

当x?(0,2)时.F?(x)?0;当x?(2,??)时,F?(x)?0,

故当x?[0,2)时,F(x)为增函数;当x?[2,??)时,F(x)为减函数. x?2为F(x)的极大值点,且F(2)??8?24?9?25.

33(Ⅱ)方法一:原方程可化为log4[f(x?1)?]?log2h(a?x)?log2h(4?x),

24a?x?x?a,即为log4(x?1)?log2a?x?log24?x?log2,且?

4?x?1?x?4,①当1?a?4时,1?x?a,则x?1?a?x,即x2?6x?a?4?0, 4?x6?20?4a?3?5?a,∵1?x?a, ??36?4(a?4)?20?4a?0,此时x?2此时方程仅有一解x?3?5?a.

a?x②当a?4时,1?x?4,由x?1?,得x2?6x?a?4?0,??36?4(a?4)?20?4a,

4?x若4?a?5,则??0,方程有两解x?3?5?a; 若a?5时,则??0,方程有一解x?3; 若a?1或a?5,原方程无解.

方法二:原方程可化为log4(x?1)?log2h(4?x)?log2h(a?x), 1即log2(x?1)?log24?x?log22?x?1?0,?1?x?4?4?x?0,?? ??x?a,a?x,??a?x?0,??a??(x?3)2?5.???(x?1)(4?x)?a?x.①当1?a?4时,原方程有一解x?3?5?a; ②当4?a?5时,原方程有二解x?3?5?a; ③当a?5时,原方程有一解x?3;

④当a?1或a?5时,原方程无解.

(Ⅲ)由已知得h(1)?h(2)??h(n)]?1?2??n,

14n?31f(n)h(n)??n?.

6661设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn?f(n)h(n)?(n?N*)

64k?34k?1从而有a1?S1?1,当2?k?100时,ak?Sk?Sk?1?k?k?1.

66221(4k?3)k?(4k?1)(k?1)1又ak?k?[(4k?3)k?(4k?1)k?1]?? 66(4k?3)k?(4k?1)k?111???0. 6(4k?3)k?(4k?1)k?1即对任意k?2时,有ak?k,又因为a1?1?1,所以a1?a2?则Sn?h(1)?h(2)??h(n),故原不等式成立.

?an?1?2? ?n.223. 设函数f(x)?alnx?x?ax,a?0

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