真题演练集训
1．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
A.C.3 23 3
B.2 2
1D. 3
答案：A
解析：因为过点A的平面α与平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m∥B1D1
∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，则BD与A1B所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为
3
，故选A. 2
2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 答案：D
解析：可以结合图形逐项判断． A项，α，β可能相交，故错误；
B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误； C项，若m?α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；
D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故选D. 3．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 答案：B
解析：解法一：若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n?α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥a或n?α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n?α，D错．
解法二：如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.
A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故A错．B项中，m⊥α，n?α，∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确．C项中，若m为AA′，
n为AB，满足m⊥α，m⊥n，但n?α，故C错．D项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错．
4. 如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．
7答案：
8
解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.
∵ M为AD的中点， ∴ MK∥AN，
∴ ∠KMC即为异面直线AN，CM所成的角．
∵ AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，
由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝22， ∴ MK＝2. 在Rt△CKN中，CK＝
2
2
＋1＝3.
2
在△CKM中，由余弦定理，得 cos∠KMC＝
2
2
＋22
2
－3
2
2×2×22
7＝. 8
课外拓展阅读 构造平面研究直线相交问题
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线
A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
解法一：如图所示，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与
CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，
而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．
解法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，
设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线． 由点P的任意性知，有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．