第二章 复变函数的积分
基本要求：
1．正确理解复变数函数路积分的概念； 2．深刻理解柯西定理及孤立奇点的定义； 3．理解并会熟练运用柯西公式。
教学内容：
§2.1 复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。
§2.2 柯西定理。柯西定理的内容和应用，孤立奇点，单连通区域，复连通区域，回路积分。 §2.3 不定积分*。原函数。
§2.4 柯西公式。柯西公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不作要求）
本章重点：柯西定理，柯西公式和孤立奇点。
《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编 2-1
§2.1 复变函数的积分
（一）复变函数的积分（简称复积分）
1.复积分的定义
曲线l是分段光滑曲线（起点A(z0)，终点B(zn)）；
（光滑曲线：曲线上每一点都有切线）。把曲f(z)在l上连续；
线l分成n小段，zk?1?zk是第k小段，在[zk?zk?1]上任取一点?k，求和
?f(?k?1nk)(zk?zk?1)=?f(?k)?zk，
k?1n当n??而且每个?zk都趋于零时，如果这个和的极限存在，而且其值与各个?k的选取无关，则这个和的极限称为函数f(z)沿曲线l从A，终点B的路积分，记作即
?lf(z)dz，
?2. 复积分的计算方法
lf(z)dz?max?zk?0lim?f(?k?1nk)?zk (2.1.1)
复变函数积分可以分解为两个实积分来计算。 即：f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，dz?dx?idy
?3. 复积分的性质
lf(z)dz??[u(x,y)?iv(x,y)](dx?idy)l??u(x,y)dx?v(x,y)dy?i?v(x,y)dx?u(x,y)dyll
复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分，因而实变函数线积分的许多性
《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编 2-2
质也对路积分成立，如
(1)常数因子可以移到积分号之外；
?cf(z)dz?c?f(z)dz
ll(2)函数和的积分等于各个函数的积分和；
??f(z)?f(z)?......?f(z)?dz??f(z)dz??f(z)dz?.......??f(z)dz
l12nl1l2ln(3)反转积分路径，积分变号；
?l?f(z)dz????f(z)dz
l(4)全路径上的积分等于各段上的积分和。
?lf(z)dz??f(z)dz??f(z)dz?......??f(z)dz
l1l2ln(5)积分不等式1：
?lf(z)dz??f(z)dz
l(6)积分不等式2：?lf(z)dz?ML 其中M是f(z)在l上的最大值，L是l的全长。
（二）举例
【例】 (P24)试计算积分 I1?y ?Rezdz，I??l12l2Rezdz
l2 o l1，l2分别如图所示，l1:(0,0)?(1,0)?(1,1),
l2:(0,0)?(0,1)?(1,1)
解：
l1 x
I1??Rezdz??l1(1,0)(0,0)xdx?ixdy??(1,1)(1,0)xdx?ixdy??xdx??idy?00111 ?i 2I2??Rezdz??l2(0,1)(0,0)xdx?ixdy??(1,1)(0,1)xdx?ixdy??xdx?011 2结论：一般说来，复变函数的积分值不仅依赖于起点和终点，同时还与积分路径有关。
《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编 2-3