2019年中考数学压轴题精练:因动点产生的面积问题(含2013试题,含详解)

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因动点产生的面积问题

例1 2013年苏州市中考第29题

如图1,已知抛物线y?12x?bx?c(b、c是常数,且c<0)与x轴交于A、B两点2(点A在点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0).

(1)b=______,点B的横坐标为_______(上述结果均用含c的代数式表示);

(2)连结BC,过点A作直线AE//BC,与抛物线交于点E.点D是x轴上一点,坐标为(2,0),当C、D、E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;

(3)在(2)的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点,连结PB、PC.设△PBC的面积为S.

①求S的取值范围;

②若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有_____个.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13苏州29”,拖动点C在y轴负半轴上运动,可以体验到,△EHA与△COB保持相似.点击按钮“C、D、E三点共线”,此时△EHD∽△COD.拖动点P从A经过C到达B,数一数面积的正整数值共有11个.

请打开超级画板文件名“13苏州29”,拖动点C在y轴负半轴上运动,可以体验到,△EHA与△COB保持相似.点击按钮“C、D、E三点共线”,此时△EHD∽△COD.拖动点P从A经过C到达B,数一数面积的正整数值共有11个.

思路点拨

1.用c表示b以后,把抛物线的一般式改写为两点式,会发现OB=2OC. 2.当C、D、E三点共线时,△EHA∽△COB,△EHD∽△COD.

3.求△PBC面积的取值范围,要分两种情况计算,P在BC上方或下方. 4.求得了S的取值范围,然后罗列P从A经过C运动到B的过程中,面积的正整数值,

再数一数个数.注意排除点A、C、B三个时刻的值.

满分解答

1,点B的横坐标为-2c. 21111(2)由y?x2?(c?)x?c?(x?1)(x?2c),设E(x,(x?1)(x?2c)).

2222(1)b=c?过点E作EH⊥x轴于H.

由于OB=2OC,当AE//BC时,AH=2EH.

所以x?1?(x?1)(x?2c).因此x?1?2c.所以E(1?2c,1?c).

EHCO1?c?c.所以. ??DHDO?2c?121整理,得2c2+3c-2=0.解得c=-2或c?(舍去).

213所以抛物线的解析式为y?x2?x?2.

22当C、D、E三点在同一直线上时,

(3)①当P在BC下方时,过点P作x轴的垂线交BC于F. 直线BC的解析式为y?设P(m,m2?1x?2. 2311m?2),那么F(m,m?2),FP??m2?2m. 2221所以S△PBC=S△PBF+S△PCF=FP(xB?xC)?2FP??m2?4m??(m?2)2?4.

2因此当P在BC下方时,△PBC的最大值为4.

当P在BC上方时,因为S△ABC=5,所以S△PBC<5. 综上所述,0<S<5.

②若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有11个.

12考点伸展

点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中,△PBC的面积为整数,依次为(5),4,3,2,1,(0),1,2,3,4,3,2,1,(0).

当P在BC下方,S=4时,点P在BC的中点的正下方,F是BC的中点.

例 2 2012年菏泽市中考第21题

如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到三角形A′B′O.

(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;

(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出它的两条性质.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12菏泽21”,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PB′A′B是等腰梯形时,四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.

请打开超级画板文件名“12菏泽21”,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PB′A′B是等腰梯形时,四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.

思路点拨

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