.
中考问题之-因动点产生的等腰三角形
【压轴题型概述】本专题专门探求图形在变化过程中，符合等腰三角形的点的存在性问题. 这个动点可以在x轴、y轴上，也可以在正、反比例函数、一次函数、二次函数上；可能是一个点在运动，也有可能两个点同时运动；所以这类题目的解答要根据运动本身的特点，写出符合这个特点的点的坐标或求出线段的长度.
等腰三角形的题目范围较广，题型很多. 数形结合，可以直观地找到解题的捷径；代数方法、几何方法各有千秋，灵活应用才能事半功倍.
这部分考题在中考试卷中的比例很大，约占30%左右. 【策略分级细述】 1. 怎样设动点的坐标
（1）若动点在x轴上，因为横坐标x在变化，纵坐标y没有变化，始终等于0，所以可设动点坐标为（x，0）；
若动点在y轴上，横坐标x没有变化，始终等于0，纵坐标y在变化，所以可设动点坐标为（0，
y）.
3（2）若动点在函数y＝f(x)上，则横坐标设为x，纵坐标设为f(x). 例如，点A在反比例函数 y＝ x333
的图像上，设A（x，y），因为y ＝ ，所以用 来代替y，这种情况一般就直接设A（x， ）；又如：
xxx11
点B在一次函数 y＝2 x ─ 上，直接设B（x，2 x ─ ）.
22
2. 等腰三角形要分类讨论
如图1-1，一个三角形为等腰三角形时，存在三种情况：AB = AC；AB = BC；BC = AC，所以要分类进 行讨论.
B
A(x1,y1)AyB(x2,y2)OCyABOxx图 1-1
图 1-2
图1-3
3. 坐标系中三角形边长的表示
如图1-2，若三角形AOB的三个顶点在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2）则AB两点间的距离公式为：AB = (x1─x2)＋(y1─y2) . 用同样的方法，把其他两条边的距离也写出来，OA =
2
2
x12＋y12 ，OB = x22＋y22 . 然后按照图1-1的方法，让三条边两两相等，解方程即可.
我们来具体的解一道反比例函数图像上求等腰三角形的题.
.
.
8
例1. 如图1-3，在直角坐标系xOy中，反比例函数 y = 图像上的点A、B的坐标分别为（2，m）、
x（n， 2），点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标. 分析：
8
1. 反比例函数y = 图像上的A、B点，满足这个解析式，所以把A、B点的坐标分别代入，求出这
x两个点的坐标.
2. 如图1-4，点C在x轴上，所以设C（x，0）.
3. 为了方便起见，讨论前可以利用两点间的距离公式，分别把AB，BC，CA的长度写出来. 4. 根据等腰三角形存在三种情况：分别对AB = AC；AB = BC；BC = AC进行讨论.
888
解：因为A（2，m）、B（n，2）在y＝ 上，所以m＝ ，2＝ ，解得：m＝4,n＝4，所以A（2，4）、
x2nB（4，2）.
因为点C在x轴上，所以设C（x，0），
则AB＝(4─2)＋(2─4) ＝22，AC＝(x─2)＋4 ＝x─4x＋20 ，BC＝(x─4)＋2 ＝x─8x＋20 . 若△ABC为等腰三角形，分三种情况讨论：
① AB＝AC，即x─4x＋20 ＝22，整理得x─4x＋12＝0，因为△＜0，所以方程无实数根，这种情 况不存在.
② AB＝BC，即x─8x＋20 ＝22，整理得x─8x＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝6，所以C（2，0）（如 图1-4）；C（6，0）（因为A、B、C三点在一条直线上，不能构成三角形，如图1-5，所以舍去）.
③ BC＝AC，即x─4x＋20 ＝x─8x＋20 ，解得：x＝0，所以C（0，0）（如图1-6）. 所以这样的点C有两个，C（2，0）或（0，0）.
例1有两个固定的点在反比例函数上，动点在x轴上，探求符合条件的等腰三角形的点的存在性.接下来我们再来探讨正、反比例函数上的两个点和y轴上的点构成的等腰三角形的问题.
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
yABOCxyABOCxyABOCx图1-4
图1-5
图1-6
.
例2. 如图1-7，点A（m，2）是正比例函数和反比例函数的交点，
yAB⊥y轴于点B，OB = 2 AB.
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）求正比例函数和反比例函数的另一个交点C的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点D，使△ACD为等腰三角形，若存在，请求出 点D的坐标，若不存在，请说明理由.
分析：
BOCAx图 1-7
1.从点A（m，2），AB⊥y轴可得：OB＝2，因为OB＝2AB，所以AB＝1，所以A（1，2）把A点的坐标分别代入所设的正比例函数和反比例函数解析式中，即可求得（1）.
2.一般地，求两个函数的交点坐标，可以把这两个函数联立方程组，解这个方程组得到的x，y就是它们的交点坐标. 但是此题也可以利用正比例函数和反比例函数的特殊性：它们的交点关于原点对称，得到C点坐标.
3.因为点D在y轴上，设出D点坐标，按照等腰三角形存在的三种情况：AC = AD，AC = CD，AD =
CD，进行分类讨论.
解：（1）因为AB⊥y轴于点B，OB＝2 AB，点A（m，2）所以OB＝2，AB＝1，所以A（1，2），
k因为A（1，2）在y＝kx（k ≠ 0)上，所以k＝2，所以y＝2x. 又因为A（1，2）在y＝ （k ≠ 0)上，所
x2
以k＝2，所以y＝ . x （2）因为A（1，2），正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称，所以C（ ─ 1，─ 2 ）. （3）存在.
因为点D在y轴上，所以设D（0，y），则AC＝(1＋1)＋(2＋2) ＝25，AD＝1＋(y─2) ，
2
2
2
2
CD＝(─1)2＋(y＋2)2
若△ACD为等腰三角形，分三种情况讨论：
① AC＝AD，即25＝1＋(y─2) ，整理得y─4y─15＝0，解得y＝2±19，所以D（0，2＋19） 或（0，2─19）
② AC＝CD，即25＝(─1)＋(y＋2) ，整理得y＋4y─15＝0，解得y＝─2±19，所以D（0，─2 ＋19）或（0，─2─19）.
③ AD＝CD，即1＋(y─2) ＝(─1)＋(y＋2) ，解得y＝0，此时点D与原点重合，舍去. 所以这样的点D有四个，D（0，2＋19），（0，2─19），（0，─2 ＋19），（0，─2─19）. 这一道题的方法和例1一样，但是计算的难度加大，解一元二次方程用到了公式法.
.
22222
2
2
222