2.2.1 等差数列的概念
2.2.2 等差数列的通项公式(一)
[学习目标] 1.理解等差数列的定义，会用定义判断一个数列是否为等差数列.2.能利用等差数列的定义求等差数列中的某一项.3.理解等差中项的概念，并能利用等差中项的概念判断一个数列是否为等差数列.
知识点一 等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 思考1 等差数列{an}的概念可用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*). 思考2 等差数列{an}的单调性与公差d的符号的关系.
等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列；若公差d＝0，则数列{an}为常数列. 知识点二 等差中项的概念
a＋b若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝. 2知识点三 等差数列的通项公式
若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d. 思考 教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？ 答案 还可以用累加法，过程如下： ∵a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， ……
an－an－1＝d(n≥2)，
将上述(n－1)个式子相加得 an－a1＝(n－1)d(n≥2)， ∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，
当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式， ∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*). 知识点四 等差数列与一次函数
1.等差数列的图象：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点. an－a1
2.公差d与斜率：d＝. n－1
题型一 等差数列的概念
例1 (1)下列数列中，递增的等差数列有个.
1234
①1,3,5,7,9；②2,0，－2,0，－6,0，…；③，，，，…；④0,0,0,0，…；⑤2－1，2，
99992＋1. (2)已知a＝
11
，b＝，则a与b的等差中项为. 3＋23－2
答案 (1)3 (2)3
解析 (1)等差数列有①③④⑤，其中递增的为①③⑤，共3个，④为常数列. a＋b1111
(2)a与b的等差中项为＝(＋)＝[(3－2)＋(3＋2)]＝3.
223＋23－22反思与感悟 (1)判断一个数列是不是等差数列，只需看an＋1－an(n≥1)是不是一个与n无关的常数.
(2)判断一个等差数列是不是递增数列，只需看数列{an}的公差d是否大于0. (3)求两个数的等差中项，只需求这两个数的和的一半即可.
跟踪训练1 (1)在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则数列{an}(填“是”或“不是”)等差数列，若是，公差为.
(2)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是. 1
答案 (1)是 (2)6
2
1
解析 (1)∵an＋1＝an＋，
21
∴an＋1－an＝(n∈N*)，
2
1
∴数列{an}是以为公差的等差数列.
2
??m＋2n＝8×2＝16，
(2)由题意得?
??2m＋n＝10×2＝20，
∴3(m＋n)＝20＋16＝36， m＋n
∴m＋n＝12，∴＝6，
2即m和n的等差中项为6.
题型二 等差数列的通项公式及应用
例2 (1)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列中的项吗？ 解 (1)设{an}的公差为d.
??a15＝a1＋14d＝8，
由题意知?
??a60＝a1＋59d＝20，
?a＝15，解得?4
d＝?15.
1
64
644
所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
1515
??a1＋a2＋a3＝18，
(2)依题意得?
a2·a3＝66，??a1·??3a1＋3d＝18，
∴?
?a1＋d?·?a1＋2d?＝66，?a1·?
???a1＝11，?a1＝1，解得?或?
?d＝－5，???d＝5.
∵数列{an}是递减等差数列， ∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.