对勾函数的图像与性质探究
一、实验内容
b（a?0且b?0，下同）的图像与性质，由三部分组成： xb1）当a,b同号时，探究y?ax?的图像与性质
xb2）当a,b异号时，探究y?ax?的图像与性质
xbb3）探究对勾函数y?ax?，与y=ax和y=的图像的关系
xx探究对勾函数y?ax?二、设计理念
通过用超级画板绘制y?ax?b的图像，观察对勾函数的图象变化规律，进而探究对勾x函数在a,b符号变化时的图像的性质，并通过探究逐步学会数形结合的数学思想方法，培养学生的探究能力 三、实验过程 1..探究问题
当a,b同号时研究对勾函数y?ax?调性等等） 探究过程
1） 当a>0,b>0时，请利用超级画板做出函数y?ax?b的图像与性质（定义域，值域，最值，奇偶性，单xb的图像，借助函数的图像，研究它x的性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等
2） 打开文件“对勾函数”，拉动参数a,b对应的滑动块，让a,b,分别从0慢慢增长到10，仔
细观察函数的图象整体形状（对称性等），增减的变化情况，找出单调区间。 3） 观察函数图像，注意函数分别在哪些位置取到最小值和最大值，
4） 当a<0,b<0时, 拉动参数a,b对应的滑动块，让a,b,分别从-10慢慢增长到0类似上述问
题研究此函数的图像与性质 探究结果
当a,b同号时，从对勾函数y?ax?bb的图像上看可得到y?ax?有如下性质： xx1. .定义域：?x|x?R,x?0?；值域y|y?2ab或y??2ab 2. 整体图像呈“对勾”的形状，图像关于原点呈中心对称，是奇函数；
??3. 当a>0,b>0时 图像在一，三象限
当x?0时，由y?ax?bb?2ab（当且仅当x?取等号） xa当x?0时，其性质可仿照x?0进行研究。故而得函数y?ax?b的递增区间是x（
bbbb，（??,?），递减区间是（0，），（?,0） ,??）
aaaa 当x>0时，在x=
b时，取最小值2ab， ab时，取最大值?2ab a当x<0时,在x=?4. 当a<0,b<0时 图像在二，四象限
递增区间是（0，
bbbb），（?,0），递减区间是（，（??,?） ,??）
aaaa当x>0时,在x=
b时，取最大值2ab， ab时，取最小值?2ab a当x<0时在x=? 互动交流
当a,b同号时，很容易从函数的表达式判断该函数的定义域，奇偶性，但是从图像上更直观的观察出这些，尤其是最值与单调区间,但是同时要借助均值不等式来求得端点的数值。 2．探究问题
当a,b异号时研究对勾函数y?ax?单调性等等） 探究过程
1） 当a>0,b<0时，请利用超级画板做出函数y?ax?b的图像与性质（定义域，值域，最值，奇偶性，xb的图像，借助函数的图像，研究它x的性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等
2） 打开文件“对勾函数.zjz”，拉动参数a,b对应的滑动块，让a从0慢慢增长到10，b从
-10慢慢增长到0仔细观察函数的图象整体形状（对称性等），增减的变化情况，找出单调区间,观察函数是否有最值
3） 当a<0,b>0时, 拉动参数a,b对应的滑动块，让a从-10慢慢增长到0, b从0慢慢增长到
10类似上述问题研究此函数的图像与性质 探究结果
当a,b异号时，从对勾函数y?ax?bb的图像上看可得到y?ax?有如下性质： xx1. 定义域：?x|x?R,x?0?；值域?y|y?R?
2. 整体图像是两条曲线，图像分布于各个象限，图像关于原点呈中心对称，是奇函数；
0),(0，??),没递减区间，没有最值； 3. 当a>0,b<0时,递增区间是(??，0),(0，??),没递增区间，没有最值； 4. 当a<0,b>0时,递减区间是(??，互动交流
a,b 同号与异号两类情况的图像，比较y?ax?时求最值与单调区间是主要研究对象。 3. 探究问题
探究对勾函数y?ax?探究过程
b性质的异同点，可以了解当a,b同号xbb，与y=ax和y=的图像的关系 xxbb， y=ax和y=的图像； xxb2）打开文件“对勾函数.zjz”，拉动参数a,b对应的滑动块，观察y?ax?，与y=ax
xbb和y=的图像的变化情况，找出它们之间的关系，找出y?ax?图像的渐近线。
xx1）在同一坐标系内，通过用超级画板绘制y?ax?探究结果
b是一个正比例函数与一个反比例函数的和，它的图像反映xbb这一点，可以观察到y?ax?的图像可以看做是y=ax和y=的图像“叠加”而成，
xxb并且由图像可以看出y?ax?有两条渐近线分别是x=0和y=ax。
x从函数的表达式看y?ax?互动交流
在拉动a,b滑块时候，也是分两种情况，就是a,b同号与异号，观察在这两种情况下，
y?ax?bb的图像是不是都与y=ax和y=的图像有关系，是不是都能找到渐进线。 xx拓展探究
当x?2时候，探究x?探究过程
1）问题归结为求x?1?k恒成立时，求k 的取值范围 x1在x?2时最小值，如果用基本不等式，发现x=1才能取到最小值2，x但是与题目的x?2矛盾，故最小值不是2 2）利用超级画板画y?x?探究结果
1的图像，可以看出在x?1时函数是递增的。 x1x?15在时函数是递增的，所以在x?2时，也是递增，当x=2时，y有最小值 x25所以k?
2y?x?四．实验反思
“函数及其性质”是高考的热点、重点，难点。而“对勾函数”是其中一个常见
又特殊的函数，了解它的图像性质无疑对学生解题是大有好处的。但是传统的教学方法直接告诉学生对勾函数的图像是什么样子性质是什么不利于学生掌握数学思想方法，而只是单纯记结论而已。真正应该让学生自己通过画函数图像去探究对勾函数的性质，超级画板就提供了这样一个利器，使得这个探究变得方便直观，探究的过程中让学生体会数形结合的数学思想方法，尤其在找单调区间，最值的情况是一目了然。但是超级画板也有局限性，就是在找单调区间端点和最值点还是需要代数上定理来辅助去计算出来。最后在探究3中让学生从另外一个角度去认识对勾函数，同样借助超级画板绘制函数图像以及在a,b参数变化的过程中让学生探究对勾函数与正比例反比例函数图像的关系，使学生对函数的图像性质有更进一步的了解。此外之貌似的函数y?ax?bb3y?ax?、分别有什么性质？与函数23xxb1y?ax?的关系如何？对于函数y?xn?n(n?N*)性质又怎样？因此就由特殊引出
xx2了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。