1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A:
(1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件A?{两次出现的面相同};
(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件A?{一分钟内呼叫次数不超过3次}; (3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件A?{寿命在2000到2500小时之间}。 解 (1) ??{(?,?),(?,?),(?,?),(?,?)}, A?{(?,?),(?,?)}. (2) 记X为一分钟内接到的呼叫次数,则
??{X?k|k?0,1,2,??}, A?{X?k|k?0,1,2,3}.
(3) 记X为抽到的灯泡的寿命(单位:小时),则
??{X?(0,??)}, A?{X?(2000,2500)}.
2. 袋中有10个球,分别编有号码1至10,从中任取1球,设A?{取得球的号码是偶数},B?{取得球的号码是奇数},C?{取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件:
?B(1)A;(2)AB;(3)AC;(4)AC;(5)AC;(6)B?C;(7)A. ?C解 (1) A?B??是必然事件; (2) AB??是不可能事件; (3) AC{取得球的号码是2,4}; ? (4) AC?{取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10}; (5) AC?{取得球的号码为奇数,且不小于5}?{取得球的号码为5,7,9};
(6) B?C?B?C?{取得球的号码是不小于5的偶数}?{取得球的号码为6,8,10}; (7) A?C?AC?{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10}
?1??13?3. 在区间[0,2]上任取一数,记A??x?x?1?,B??x?x??,求下列事件的表达式:
2??2??4?B(1)A;(2)AB;(3)AB;(4)A?B.
?13?解 (1) A?B??x?x??;
2??4???111?? (2) AB??x0?x?或1?x?2??B??x?x????x1?x?22?????4 (3) 因为A?B,所以AB??;
3??; 2?????13113(4)A?B?A??x0?x?或?x?2???x0?x?或?x?1或?x?2? 4. 用事件A的,B,C42422????运算关系式表示下列事件:
(1) A出现,B,C都不出现(记为E1); (2) A,B都出现,C不出现(记为E2); (3) 所有三个事件都出现(记为E3); (4) 三个事件中至少有一个出现(记为E4); (5) 三个事件都不出现(记为E5); (6) 不多于一个事件出现(记为E6); (7) 不多于两个事件出现(记为E7); (8) 三个事件中至少有两个出现(记为E8)。
ABCABC 解 (1)E; (2)E; 1?2?ABC?A?B?C (3)E; (4)E; 3?4 (5)E; (6)E; ABC?ABC?ABC?ABC?ABC5?6 (7)E;(8)E. ?ABC?A?B?C?AB?AC?B785. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设Ai表示事件“第i次抽到废品”,i?,试用Ai表示下列事件: 1,2,3(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品;
(2) 只有第一次抽到废品; (3) 三次都抽到废品;
(4) 至少有一次抽到合格品; (2) 只有两次抽到废品。 解 (1)AA1A2A3; (3)A1A2A3; 1?2; (2)A(4)A; (5)A. ?A?AAA?AAA?AAA123123123123 6. 接连进行三次射击,设Ai={第i次射击命中},i?,B?{三次射击恰好命中二次},1,2,3C?{三次射击至少命中二次};试用Ai表示B和C。
?AAA?AAA?AAA解 B 123123123 C ?AA?AA?AA121323
习题二解答
1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有1件次品的概率。
?50?解 这是不放回抽取,样本点总数n???3??,记求概率的事件为A,则有利于A的样本点数
???45??5?k???2????1??. 于是
????455????????????4521k???44?5?3!99??P(A)???? 50n??49?48?2!392?50????3??2.一口袋中有5个红球及2个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后,再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求
(1) 第一次、第二次都取到红球的概率;
(2) 第一次取到红球,第二次取到白球的概率; (3) 二次取得的球为红、白各一的概率; (4) 第二次取到红球的概率。
2解 本题是有放回抽取模式,样本点总数n?7. 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为
. A,B,C,D?5?252?5P(A)?(ⅰ)有利于A的样本点数k,故 ??? A7??495?210?5?2P(B)?? (ⅱ) 有利于B的样本点数k,故 B274920?2?5?2P(C)?(ⅲ) 有利于C的样本点数k,故 C497?5355P(D)????7?5(ⅳ) 有利于D的样本点数k,故 . D249773.一个口袋中装有6只球,分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球,试求:(1) 最小号码是3的概率;(2) 最大号码是3的概率。
?6?5解 本题是无放回模式,样本点总数n.
2(ⅰ) 最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只,且有一次抽到3,因而有利
2?31样本点数为2?3,所求概率为 ?.
6?55(ⅱ) 最大号码为3,只能从1,2,3号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为2?2,
2?22所求概率为 ?.
6?5154.一个盒子中装有6只晶体管,其中有2只是不合格品,现在作不放回抽样,接连取2次,每次取1只,试求下列事件的概率:
(1) 2只都合格;
(2) 1只合格,1只不合格; (3) 至少有1只合格。
解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为A,则 ,B,C?4???2??4?3?22?P(A)???? ?6?6?5?25??2?????4??2??????1??1?42?28??????P(B)??
6?515?6????2????A?B注意到C,且A与B互斥,因而由概率的可加性知
2814 P(C)?P(A)?P(B)???515155.掷两颗骰子,求下列事件的概率:
(1) 点数之和为7;(2) 点数之和不超过5;(3) 点数之和为偶数。
2解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为A,样本点总数n?6 ,B,C(ⅰ)A含样本点(,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) 2,5),(5,2)61?P(A)?2?
66(ⅱ)B含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
105P(B)?2? ?618(ⅲ)C含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。
181P(C)?? ?3626.把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去,假设每间宿舍最多可住8人,试求这三名学生住不同宿舍的概率。
?4?3解 记求概率的事件为A,样本点总数为53,而有利A的样本点数为5,所以
5?4?312P(A)?3?.
2557.总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三位,求下列事件的概率: (1) 事件A:“其中恰有一位精通英语”; (2) 事件B:“其中恰有二位精通英语”; (3) 事件C:“其中有人精通英语”。
?5?解 样本点总数为????
?3?