2018学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科
2018．12
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1.若复数z满足i?z?1?2i，其中i是虚数单位，则z的实部为___________. 2.已知全集U?R，集合A??yy?x?2,x?R,x?0?，则eUA?___________. 3.若实数x,y满足xy?1，则2x2?y2的最小值为___________.
24.若数列?an?的通项公式为an?1n?1n*an?___________. 1(n?N)，则limn??nx2y25.已知双曲线2?2?1（a?0,b?0）的一条渐近线方程是y?2x，它的一个焦点与抛物
ab2线y?20x的焦点相同，则此双曲线的方程是___________.
6.在平面直角坐标系xOy中，直线l经过坐标原点，n??3,1?是l的一个法向量.已知数列?an?满足：对任意的正整数n，点?an?1,an?均在l上.若a2?6，则a3的值为 .
11??7.已知?2x2???n?N??的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的
xx??系数是 .（结果用数值表示）
n8.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如下表所示：
等级 分数 A+ 70 A 67 B+ 64 B 61 B- 58 C+ 55 C 52 C- 49 D+ 46 D 43 E 40 上海某高中2018届高三（1）班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得A+成绩，其他人的成绩至少是B级及以上，平均分是64分.这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为___________人.
9.已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，当0?x?1时，f(x)?lg(x?1)，令函数
g(x)?f(x)(x??1,2?)，则g(x)的反函数为______________________.
1??10.已知函数y?sinx的定义域是?a,b?，值域是?-1，?，则b?a的最大值是___________.
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??x?4,x??11.已知??R，函数f(x)??2.若函数f(x)恰有2个零点，则?的取值范围是
x?4x?3,x????___________．
12.已知圆M:x2?(y?1)2?1，圆N:x2?(y?1)2?1.直线l1、l2分别过圆心M、N，
x2y2??1上任意一且l1与圆M相交于A,B两点，l2与圆N相交于C,D两点.点P是椭圆94点，则PA?PB?PC?PD的最小值为___________.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.设??R，则“?=?1”是“sin?=”的（ ） 62（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆
柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为?:4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ） （A）16 （B）163 （C）
16128 （D） 3315.对于函数y?f(x)，如果其图像上的任意一点都在平面区域?(x,y)|(y?x)(y?x)?0?内，
则称函数f(x)为“蝶型函数”.已知函数：①y?sinx；②y?是( )
（A）①、②均不是“蝶型函数” （B）①、②均是“蝶型函数”
（C）①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数” （D）①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数”
前n项和为Sn.若对任意的n?N*，都有Sn?S3，16.已知数列?an?是公差不为0的等差数列，
x2?1，下列结论正确的a6则的值不可能为（ ） a5（A）2 （B）
534（C） （D）
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三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，已知正方体ABCD?A'B'C'D'的棱长为1.
（1）正方体ABCD?A'B'C'D'中哪些棱所在的直线与直线
A'B是异面直线？
（2）若M,N分别是A'B,BC'的中点，求异面直线MN与BCDCBA'D'C'B'所成角的大小.
A
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
ax?2,其中a?R. 已知函数f(x)?x?2（1）解关于x的不等式f(x)??1；
（2）求a的取值范围，使f(x)在区间(0,??)上是单调减函数.
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角?AOB??3. 该地区为打击洋垃圾走私，在
DA海 域CB海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）.在圆弧的两端点A,B分别建有监测站，A与B之间的直
陆地线距离为100海里.
（1）求海域ABCD的面积；
（2） 现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B点2019海里. 判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由.
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