什么时候你来到我身边课时跟踪训练(五十三) 直线与圆、圆与圆的位置关系
[基础巩固]
一、选择题
1．(2017·广东汕头质检)已知抛物线C：y＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于
2
A，B两点，则cos∠AFB＝( )
4334A. B. C．－ D．－ 5555
[解析] ∵抛物线C：y＝4x的焦点为F，∴点F的坐标为(1,0)．又∵直线y＝2x－4
→
→→
∴cos∠AFB＝
→
与C交于A，B两点，∴A，B两点坐标分别为(1，－2)，(4,4)，则FA＝(0，－2)，FB＝(3,4)，
2
FA·FB－84
＝＝－.故选D.
→→105
|FA||FB|
[答案] D
2．(2017·北京东城期末)过抛物线y＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 C．有无穷多条
2
2
B．有且仅有两条 D．不存在
[解析] 过抛物线y＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程y＝4x，得kx－2(k＋2)x＋k＝0.∵A，B两点的横坐标之和等于3，∴
[答案] B
3．(2017·湖南长沙调研)设斜率为2的直线l过抛物线y＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y＝±4x C．y＝±8x
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2
2
22
2
2
k2＋
k2＝3.解得k＝±2，∴符合题意的直线有且仅有两条．故选B.
B．y＝4x D．y＝8x
2
2
??2
[解析] ∵抛物线y＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为?，0?，∴直线l的方程为y＝
?4?
a?1?a??a??a??2?x－?.∵直线l与y轴的交点为A?0，－?，∴△OAF的面积为??·??＝4，解得a＝2?2?4??2??4??
±8.∴抛物线的方程为y＝±8x，故选C.
[答案] C
1
2
a什么时候你来到我身边4．(2017·河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y＝2px(p>0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线交抛物线于A，B两点，过点A，点B分别作AM，BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M，N两点，那么∠MFN必是( )
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上皆有可能
2
[解析] 由题意画出图象，如图．由抛物线的定义，可知|NB|＝|BF|.所以△BNF是等腰三角形．因为BN∥OF，所以NF平分∠OFB.同理MF平分∠OFA，所以∠NFM＝90°.故选B.
[答案] B
5．(2017·黑龙江七台河期末)已知抛物线C：y＝－8x的焦点为F，直线l：x＝1，点
→
A．20 B．16 C．10 D．5
→
[解析] 由抛物线C：y＝－8x，得F(－2,0)．设A(1，a)，B(m，n)，且n＝－8m.∵FA→
＝－3FB，∴1＋2＝－3(m＋2)，解得m＝－3，∴n＝±26.
∵a＝－3n，∴a＝±66， ∴|AB|＝[答案] A
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6．(2017·湖北襄阳月考)已知抛物线y＝x的焦点为F，准线为l，M在l上，线段
2
＋
2
2
2
2
→
A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B.若FA＝－3FB，则|AB|＝( )
＋6＋66
2
＝20.故选A.
MF与抛物线交于N点，若|MN|＝2|NF|，则|MF|＝( )
A．2 B．3 C.2 D.3 [解析]
2
什么时候你来到我身边
如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H. 根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|， 在△NHM中，|NM|＝2|NH|，则 ∠NMH＝45°.
在△MFK中，∠FMK＝45°， 所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1. 所以|MF|＝2.故选C. [答案] C
7．已知抛物线y＝2px(p>0)的准线与曲线x＋y－4x－5＝0相切，则p的值为__________．
[解析] 曲线的标准方程为(x－2)＋y＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2.
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[答案] 2 二、填空题
8．(2018·武汉模拟)抛物线y＝4x的焦点为F，倾斜角等于45°的直线过F交该抛物线于A，B两点，则|AB|＝__________.
2p2×2
[解析] 由抛物线焦点弦的性质，得|AB|＝＝2＝8. 2
sinαsin45°[答案] 8
9．(2017·黑龙江绥化期末)设抛物线y＝16x的焦点为F，经过点P( 1,0)的直线l与
→
→
抛物线交于A，B两点，且2BP＝PA，则|AF|＋2|BF|＝________.
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P(1,0)， →→→
∵2BP＝PA，∴2(1－x2，－y2)＝(x1－1，y1)， ∴x1＋2x2＝3，－2y2＝y1.
→
∴BP＝(1－x2，－y2)，PA＝(x1－1，y1)．
2
2
2
2
2
2
2
pp 3
什么时候你来到我身边将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入抛物线方程y＝16x，得
2
y21＝16x1，y2＝16x2.
2
又∵－2y2＝y1，∴4x2＝x1.
1
又∵x1＋2x2＝3，解得x2＝，x1＝2.
2
?1?∴|AF|＋2|BF|＝x1＋4＋2(x2＋4)＝2＋4＋2×?＋4?＝15. ?2?
[答案] 15 三、解答题
10．(2017·河北沧州百校联盟)已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为2，|PF|＝3.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．
[解] (1)由抛物线定义可知，|PF|＝2＋＝3，∴p＝2，∴抛物线C的方程为y＝4x.
2(2)由y＝4x，得F(1,0)，∴过点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝立y＝4x，消去x得y－43y－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝43，y1y2＝－4. 11
∴S△OAB＝S△OAF＋S△OFB＝|y1－y2|＝×48＋16＝4.
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[能力提升]
11．(2017·辽宁沈阳二中期中)抛物线C：y＝4x的焦点为F，斜率为k的直线l与抛物线C交于M，N两点．若线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标为a(a>0)，n＝|MF|＋|NF|，则2a－n＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[解析] 由题意得F(1,0)，准线方程为x＝－1.线段MN的中点坐标为(x0，y0)．由抛物线的定义，得n＝|MF|＋|NF|＝xM＋1＋xN＋1＝xM＋xN＋2＝2x0＋2.因为线段MN的垂直平分1
线方程为y－y0＝－(x－x0)，令y＝0，得x＝ky0＋x0，即a＝ky0＋x0.由点差法可得ky0＝2，
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2
2
p2
3
(x－1)．联3
k所以x0＝a－2，所以2a－n＝2x0＋4－(2x0＋2)＝2.故选A.
[答案] A
12．(2017·北京昌平期末)已知△ABC的三个顶点均在抛物线y＝x上，边AC的中线
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BM∥x轴，|BM|＝2，则△ABC的面积为________．
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