核心母题一 最值问题
深度练习
1．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的长度和最短，则此时AM＋NB＝( )
A．6
B．8
C．10
D．12
2．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．
3．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为________．
4．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.当点P在BC上移动时，求PQ的最大值．
1
5．如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点． (1)求此抛物线的解析式；
(2)当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．
参考答案
1．B 2.7 3.(23－3，2－3) 4．解：如图，连接OQ.
在Rt△OPQ中，PQ＝OQ2
－OP2
＝9－OP2
， 当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC， 则OP＝12OB＝3
2，
∴PQ的最大值为9－（3232）＝3
2
.
2
5．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2
＋bx＋c， ?－b
＝2由题意得??2a
，?a－b＋c＝0，
?c＝5，?a＝－1，解得?
?b＝4，
??c＝5，
∴抛物线的解析式为y＝－x2
＋4x＋5.
(2)当a＝1时，E(1，0)，F(2，0)，OE＝1，OF＝2. 设P(x，－x2
＋4x＋5)．
如图，过点P作PN⊥y轴于点N，
则PN＝x，ON＝－x2
＋4x＋5， ∴MN＝ON－OM＝－x2＋4x＋4. S四边形MEFP＝S梯形OFPN－S△PMN－S△OME ＝12(OF＋PN)·ON－12MN·NP－1
2
OE·OM ＝12(x＋2)(－x2＋4x＋5)－12
1921532x·(－x＋4x＋4)－2×1×1＝－(x－4)＋16，∴当x＝94时，S153四边形MEFP最大，最大为16.
当x＝94时， y＝－x2
＋4x＋5＝14316，
此时点P坐标为(91434，16
)．
(3)∵M(0，1)，C(0，5)，△PCM是以点P为顶点的等腰三角形， ∴点P的纵坐标为3.
令y＝－x2
＋4x＋5＝3，解得x＝2±6. ∵点P在第一象限，
3