成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式

n个事件 (1) (2)

,如果满足下列条件:

则称其为完备事件组。

显然任何一个事件A与其对立事件构成完备事件组。 10.事件运算的运算规则: (1)交换律 (2)结合律 (3)分配律 (4)对偶律率的古典定义

定义:在古典概型中,若样本空间所包含的基本事件总数为n,事件A包含的基本事件数为m,则事件A发

生的概率为。

概率的基本性质与运算法则 性质≤P(A)≤1

特别地,P(Φ)=0,P(Ω)=1 性质2.若

,则P(B-A)=P(B)-P(A)

性质3.(加法公式).对任意事件A,B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 。 推论1.若事件A,B互不相容(互斥),则P(A+B)=P(A)+P(B) 推论2.对任一事件A,有

条件概率、乘法公式、事件的独立性 条件概率

定义1:设有事件A,B,且P(B)>0,称

类似地,如果P(A)>0,则事件B对事件A的条件概率为 概率的乘法公式

乘法公式可推广到有限多个事件的情况,例如对事件A,B,C,有 事件的独立性

一般地说, P(A︱B)≠P(A),即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(A︱B)≠P(A),则说明事件B的发生在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A,B相互独立。

定义:对于事件A,B,若P(AB)=P(A)P(B) ,则称事件A与事件B相互独立。独立试验序列概型 在相同的条件下,独立重复进行n次试验,每次试验中事件A可能发生或可能不发生,且事件A发生的概率为p,则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为

一维随机变量及其概率分布 (一)随机变量 1.随机变量

推论3.对任意事件A,B,C,有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

定义:设Ω为样本空间,如果对每一个可能结果称X为定义在Ω上的随机变量,简记作

2.离散型随机变量

,变量X都有一个确定的实数值与之对应,则

定义:如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值,则称X为离散型随机变量。 (二)分布函数与概率分布 1.分布函数

定义:设X是一个随机变量,x是任意实数,则函数布函数。

分布函数F(x)有以下性质: (2)F(x)是x的不减函数,即对任意

称为随机变量X的分

(4)F(x)是右连续的,即

(5)对任意实数a<b,有P{a<X≤b}=F(b)-F(a) 2.离散型随机变量的概率分布

则称上式为离散型随机变量X的概率分布(或概率函数或分布列)。 离散型随机变量X的概率分布也可以用下列列表形式来表示: 3.分布函数与概率分布之间的关系

若X为离散型随机变量,则随机变量的数字特征 1.数学期望

(1)数学期望的概念

定义:设X为离散型随机变量,其概率函数为

若级数绝对收敛,则称为X的数学期望,简称期望或均值,记作EX,即

(2)数学期望的性质 ①若C为常数,则E(C)=C ②若a为常数,则E(aX)=aE(X) ③若b为常数,则E(X+b)=E(X)+b

④若X,Y为随机变量,则E(X+Y)=E(X)+E(Y) 2.方差

(1)方差的概念

定义:设X为随机变量,如果

方差的算术平方根称为均方差或标准差, 对于离散型随机变量X,如果X的概率函数为

存在,则称

为X的方差,记作DX,即

则X的方差为 (2)方差的性质

①若C为常数,则D(C)=0 ②若a为常数,则

③若b为常数,则D(X+b)=D(X) ④基本公式

由a ?N(1)b?logN(2)a(1)对数的性质:

b

①负数和零没有对数;②1的对数是零;③底数的对数等于1。 ①l ogMN?logM?logNM,N?R??aaa?(2)对数的运算法则:

??②logaM? ?logM?logNM,N?RaaN??③l ogN?nlogNN?Raan④log?logNNR? aNa??n???1n???3、对数换底公式:

由换底公式推出一些常用的结论:

(1)logb?am1 或logb·loga?1ablogab?mlogab n

(2)loganboglog(3)l nb?aba(4)logana?mnm n三角函数的单调区间:

????2k???(k?Z), y?sinx的递增区间是?2k??,22??递减区间是?2k?????2,2k??3??(k?Z); 2??2k??(k?Z), y?cosx的递增区间是?2k???,递减区间是

?2k?,2k????(k?Z),

????y?tanx的递增区间是?k??,k???(k?Z),

22??1、数列极限的存在准则

定理(两面夹准则)若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件:

(1), (2), 则

定理 若数列{xn}单调有界,则它必有极限。 2、数列极限的四则运算定理。

(1)

(2) ,(3)当时,

3、当x→x0时,函数f(x)的极限等于A的必要充分条件是

这就是说:如果当x→x0时,函数f(x)的极限等于A,则必定有左、右极限都等于A。

反之,如果左、右极限都等于A,则必有4、函数极限的定理

定理 (惟一性定理)如果存在,则极限值必定惟一。

定理 (两面夹定理)设函数在点的某个邻域内(可除外)满足条件:

(1),(2),则有。

推论 :(1)

(2)

5、无穷小量的基本性质

,(3)

性质1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量;

性质2 有界函数(变量)与无穷小量的乘积是无穷小量;特别地,常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

性质3 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4 无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 6、等价无穷小量代换定理:

如果当时,均为无穷小量,又有且存在,则

7、重要极限Ⅰ

8、 重要极限Ⅱ是指下面的公式:

9、 (2) (3)

(4)

10、函数在一点处连续的性质

由于函数的连续性是通过极限来定义的,因而由极限的运算法则,可以得到下列连续函数的性质。 定理 (四则运算)设函数f(x),g(x)在x0处均连续,则

(1)f(x)±g(x) 在x0处连续 ,(2)f(x)·g(x)在x0处连续 (3)若g(x0)≠0,则(x)]在x= x0处连续。

定理 (反函数的连续性)设函数y=f(x)在某区间上连续,且严格单调增加(或严格单调减少),则它的反函数x=f-1(y)也在对应区间上连续,且严格单调增加(或严格单调减少) 闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),有以下几个基本性质,这些性质以后都要用到。 定理 (有界性定理) 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)必在[a,b]上有界。

定理 (最大值和最小值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在这个区间上一定存在最大值和最小值。

定理 (介值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且其最大值和最小值分别为M和m,则对于介于m和M之间的任何实数C,在[a,b]上至少存在一个ξ,使得 f(ξ)=C

11、闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),有以下几个基本性质,这些性质以后都要用到。 定理 (有界性定理) 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)必在[a,b]上有界。

在x0处连续。

定理 (复合函数的连续性)设函数u=g(x)在x= x0处连续,y=f(u)在u0=g(x0)处连续,则复合函数y=f[g

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