2019-2020学年高中数学 13.1数学归纳法及其应用课时提能训练 理 新人教A
版
一、选择题(每小题6分，共36分)
111
1.(2012·玉林模拟)在用数学归纳法证明1＋＋＋…＋
233(n－1)成立( )
1
(A)1<2 (B)1＋<2 2111(C)1＋＋<2 (D)1＋<2 233
2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x＋y能被x＋y整除”的第二步是
( )
(A)假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确(k∈N) (B)假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确(k∈N) (C)假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确(k∈N) (D)假使n＝k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N)
3.(2012·梧州模拟)某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立.现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( ) (A)当n＝6时，该命题不成立 (B)当n＝6时，该命题成立 (C)当n＝4时，该命题不成立 (D)当n＝4时，该命题成立
4.用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n(n∈N)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到( ) (A)1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k (B)1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1) (C)1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2) (D)1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)
5.(2012·桂林模拟)已知1＋2×3＋3×3＋4×3＋…＋n×3b、c的值分别为( )
111
(A)a＝，b＝c＝ (B)a＝b＝c＝
244
1
(C)a＝0，b＝c＝ (D)不存在这样的a、b、c
4
2
3
n－1
222
2
2
*
*
*
*
**
n
n
＝3(na－b)＋c对一切n∈N都成立，则a、
n*
6.下列代数式(其中k∈N)能被9整除的是( ) (A)6＋6·7 (B)2＋7(C)2(2＋7
k＋1k
k－1
*
k
) (D)3(2＋7)
二、填空题(每小题6分，共18分) 7.观察下式： 1＝1； 2＋3＋4＝3； 3＋4＋5＋6＋7＝5； 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝7，
…，则第n个等式为： .
8.如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n(n∈N)个图形中共有 个顶点.
*
2
2
2
2
9.(2012·贺州模拟)给出下面三个式子
①f(n)＝1＋k＋k＋…＋k(n∈N)，当n＝1时，f(n)＝1；
11111*
②f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N)，当n＝1时，f(n)＝1＋＋；
232n＋123111*
③f(n)＝＋＋…＋(n∈N)，则
n＋1n＋23n＋1111
f(k＋1)＝f(k)＋＋＋. 3k＋23k＋33k＋4其中正确的是 (填上序号) 三、解答题(每小题15分，共30分)
11119*
10.(易错题)用数学归纳法证明：当n＞1，且n∈N时，＋＋＋…＋＞. n＋1n＋2n＋33n10
2
n
*
11
11.数列{an}满足an＞0，Sn＝(an＋)，
2an(1)求S1，S2，
(2)猜想Sn，并用数学归纳法证明.
【探究创新】
(16分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N，点(n，Sn)均在函数y＝b＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上. (1)求r的值.
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N)，[
b1＋1b2＋1bn＋1*
证明：对任意的n∈N，不等式··…·>n＋1成立.
b1b2bn
答案解析
1.【解题指南】数学归纳法中第一步是验证最初的n值，根据题目确定最初的n值为n0＝2.
111
【解析】选C.在不等式1＋＋＋…＋
233(n－1)11
即1＋＋<2. 23
2.【解析】选B.因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第n个正奇数也成立，本
题即假设n＝2k－1正确，再推第n＋1个正奇数，即n＝2k＋1正确.
3.【解析】选C.因为当n＝k时，命题成立可推出n＝k＋1时成立，所以n＝5时命题不成立，则n＝4时命题也一定不成立.
4.【解析】选B.∵n＝k＋1时，
等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1) ＝k＋(2k＋1)＝(k＋1).
5.【解题指南】将n＝1,2,3代入到1＋2×3＋3×3＋4×3＋…＋n×3c的三元一次方程组求解.
【解析】选A.∵等式对一切n∈N均成立， ∴n＝1,2,3时等式成立，即
*
2
3
n－1
2
2
*
*
x
＝3(na－b)＋c中列出关于a、b、
n