第14讲 三角形的基础知识
命题点1 三角形的稳定性及三边关系
1．(2018·河北T1·3分)下列图形具有稳定性的是(A)
2．(2011·河北T10·3分)已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为(B)
A．2 B．3 C．5 D．13
3．(2013·河北T15·3分)如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°，如图2，则下列说法正确的是(C)
图1 图2
A．点M在AB上
B．点M在BC的中点处
C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远 D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远 命题点2 三角形内角和定理及推论
4．(2014·河北T4·2分)如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是(B)
A．20° B．30° C．70° D．80°
5．(2013·河北T13·3分)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝(B)
A．90° B．100° C．130° D．180°
命题点3 三角形的中位线
6．(2014·河北T2·2分)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE＝2，则BC＝(C)
A．2 B．3 C．4 D．5
7．(2015·河北T15·2分)如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是(B)
A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤
8．(2017·河北T17·3分)如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200 m，则A，B间的距离为100m.
重难点1 三角形边与角的性质
如图，D是△ABC边BA延长上一点．
(1)①若BC＝3，AC＝6，则AB的长在什么范围？ ②若AC＝6，则△ABC的周长可能是(D) A．8 B．10 C．12 D．14
(2)①若∠CAB＝36°，∠B＝∠ACB，则∠ACB＝72°； ②若∠CAB∶∠B∶∠ACB＝3∶5∶7，求∠CAD的度数；
4
③若CE是△ABC的角平分线，∠CAD＝∠CEA，∠BCA＝80°，求∠CEA的度数．
3
【思路点拨】(1)可利用三角形三边大小关系来解；(2)①可利用三角形内角和为180°，通过方程(组)来求解；②设每份为x，利用三角形内角和，求出∠CAB，再利用互补求∠CAD；③需要利用外角与内角之间的数量关系，再结合已知条件求解．
【自主解答】解：(1)①由三角形任意两边和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得，AC－BC＜AB＜BC＋AC，所以3＜AB＜9.
(2)②∵∠CAB∶∠B∶∠ACB＝3∶5∶7，
∴设∠CAB＝3x°，∠B＝5x°，∠ACB＝7x°. ∵∠CAB＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴3x＋5x＋7x＝180，解得x＝12.∴∠CAB＝36°. ∴∠CAD＝180°－∠CAB＝144°.
4
③∵∠CAD＝∠CEA＋∠ECA，∠CAD＝∠CEA，
3∴∠CEA＝3∠ECA.
3
∵CE是△ABC的角平分线，∴∠CEA＝∠BCA＝120°.
2
【变式训练1】(2018·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是(B)
A．4 cm，5 cm，9 cm B．8 cm，8 cm，15 cm C．5 cm，5 cm，10 cm D．6 cm，7 cm，14 cm
【变式训练2】(2018·长春)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为(C)
A．44° B．40° C．39° D．38° 方法指导
1．三角形三边大小关系实际上是两点之间线段最短在三角形知识中的具体应用；还可以从不等式组的解集角度来进行处理，解决一些特殊解问题；判断三条线段是否能组成三角形，只需满足两较小线段的和大于最大线段即可． 2．三角形中求角常用到下列知识：
(1)三角形内角和定理；
(2)三角形外角与内角之间的数量关系； (3)角平分线的定义； (4)平行线的性质；
其中利用三角形内角和定理求角时，包括三种类型：已知两角求第三角，已知一个角以及两角的数量关系，求这两个角；已知三个角的数量关系，求这三个角． 重难点2 三角形中的重要线段
如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线．
1
(1)有四种说法：①BA＝2BF；②∠ACE＝∠ACB；③AE＝BE；④CD⊥AB，则错误的说法是③；
2
(2)若∠A＝72°，∠ABC＝28°，求∠DCE； (3)BG是△ABC的高，∠A＝72°，求∠DHB；
(4)若M是BC的中点，若∠A＝90°，AB＝16，BC＝20，求FM的长．
【思路点拨】 (1)由三角形高线，角平分线，中线的定义进行判断即可；(2)先由∠A，∠ABC可求∠ACB，由CE是角平分线，可求得∠ACE，从而可利用∠ACE和∠ACD作差可解决问题；(3)由四边形内角和是360°，可求得∠DHG，由互补可求得∠DHB；(4)由勾股定理求AC，由中位线定理求AC.
【自主解答】解：(2)∵∠A＝72°，∠ABC＝28°，
∴∠ACB＝80°.
∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE＝∠BCE＝40°.
∵∠A＝72°，CD是△ABC的高， ∴∠ACD＝18°.
∴∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝22°.
(3)∵BG是△ABC的高，CD是△ABC的高， ∴∠ADC＝∠AGH＝90°.
∵∠A＋∠ADC＋∠DHG＋∠AGH＝360°， ∴∠DHG＝108°.
∴∠DHB＝180°－∠DHG＝72°. (4)∵∠A＝90°，AB＝16，BC＝20，