高中数学必修五第三章不等式复习(知识点与例题)

5?????,???1,???

9??换元法

1的函数,令f(x)利用代数或三角换元,将所给函数转化为易求值域的函数,形如y=f(x)=t;形如y?ax?b?cx?d,其中a,b,c,d为常数,令cx+d=t;形如y?a2?x2的结构函数,令x?acos?x??0,??或令x=asinθ例5求函数y?x?1?x2

解:令x=acosθ,y?cos??sin??2cos???????4??

0≤θ≤π

ππ4≤θ+4≤5π4 ∴

?1?cos???????24???2 ∴?2?y?1即所求值域为

??2,1?

例2:已知a?0,b?0,若ab?2,则a?b的最小值为_______。 例3:已知x,y?R?,且x?4y?1,则x?y的最大值为_______。 例4:已知a?0,b?0,若a?b?2,则lga?lgb的最大值为_______。例5:求函数y?x2?5x2?4的值域。

????????2,2??

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?

练习:

1、已知x?0,y?0,且3x?4y?12。求lgx?lgy的最大值及相应的x,y值。

2、已知a?0,b?0,若ab?2,则a?2b的最小值为_______。

3、已知a?0,b?0,若a?2b?2,则ab的最大值为_______。

4、若a,b为实数,且a?b?2,则3a?3b的最小值是( )

(A)18 (B)6

(C)23 (D)243

题型5: “常量代换”(“1的活用”)在基本不等式中的应用

例1:已知正数x、y满足x?2y?1,求1x?1y的最小值。

练习:

1、已知a?0,b?0,若a?b?2,则1a?1b的最小值为_______。

2、已知a?0,b?0,若a?2b?2,则12

a?b

的最小值为_______。

例2:已知a?0,b?0,点P(a,b)在直线x?2y?2?0上,则12

a?b

的最小值为_______。

2:已知x?0,y?0,且1x?9y?1,求x?y的最小值。

变式: (1)若x,y?R?且2x?y?1,求1?1的最小值

xy

14

?(2)已知a,b,x,y?R且a?b?1,求x?xyy的最小值

练习:

1、设a?0,b?0.若3是3与3的等比中项,则 A . 8 B . 4 C. 1 D.

ab11?的最小值为( ) ab1 4222、若直线ax?2by?2?0(a?0,b?0),始终平分圆x?y?4x?2y?8?0的周长,则1?2的最

ab小值为( ) A.1

例3:已知a?0,b?0,且三点A?1,1?,B?a,0?,C?0,b?共线,则a?b的最小值为 。

题型6:2ab?a?b?2(a?b)的应用

22B.5

C.42 D.3?22

1、已知x,y为正实数,3x+2y=10,求函数W=3x +2y 的最值.

2、求函数y?2x?1?5?2x(1?x?5)的最大值。

22

【拓展提升】

1、已知x,y为正实数,且x 2+

15

y 22

=1,求x1+y 2 的最大值.

2:已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=

3、若a?b?1,P?lga?lgb,Q?

1

ab 的最小值.

1a?b(lga?lgb),R?lg(),则P,Q,R的大小关系是 . 224、

基本不等式作业

1、下列结论正确的是 ( ) A.当x?0且x?1时,lgx?11?2 ?2 B.当x?0时,x?lgxxC.当x?2时,x?

11的最小值为2 D.0?x?2时,x?无最大值 xx2、设正数x、y满足2x?y?20,则lgx?lgy的最大值是( )

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