函数及其性质(强化练)
一、选择题
1．下列函数中，与函数y＝－2x为同一函数的是( ) A．y＝x－2x C．y＝－2x
3
33B．y＝－x－2x D．y＝x2
－2
x 3
解析：选B.函数y＝－2x的定义域为(－∞，0]，值域为[0，＋∞)，而y＝－2x的定义域为[0，＋∞)，y＝x2
－2
的定义域为(－∞，0)，所以排除C，D.
x又y＝x－2x中，x≤0，所以y≤0，即值域为(－∞，0]，这与函数y＝－2x的值域不同，所以排除A.故选B.
??2x，x>0，
2．已知函数f(x)＝?若f(α)＋f(1)＝0，则实数α的值等于( )
?x＋1，x≤0.?
3
A．－3 C．1
解析：选A.因为f(1)＝2， 所以f(α)＝－f(1)＝－2，
当x>0时，2x>0，所以α?(0，＋∞)． 所以α≤0，α＋1＝－2，得α＝－3.
B．－1 D．3
3．(2019·抚顺高一检测)已知函数f(x)的图象恒过点(1，1)，则函数f(x－3)的图象恒过( )
A．(4，1) C．(1，－3)
B．(－3，1) D．(1，4)
解析：选A.函数f(x－3)的图象看作函数f(x)的图象向右平移3个单位，函数f(x)的图象恒过点(1，1)，则函数f(x－3)的图象恒过点(4，1)．
4．如果函数y＝x＋(1－a)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是( )
A．[5，＋∞) C．[9，＋∞)
1－a解析：选C.由题得－≥4，a≥9.故选C.
2
5．下列函数中，既是偶函数又在(－3，0)上单调递减的函数是( ) A．y＝x C．y＝|x|＋1
3
2
B．(－∞，－3] D．(－∞，－7]
B．y＝－x＋1 D．y＝x
2
解析：选C.A项为奇函数；B项为偶函数，但在(－3，0)上单调递增，不合题意；C项，函数是偶函数，当x∈(－3，0)时，y＝－x＋1单调递减，符合题意；D项，函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，不合题意．故选C.
??x＋1，x∈[－1，0]，
6．已知函数f(x)＝?2则函数f(x)的图象是( )
?x＋1，x∈（0，1]，?
解析：选A.当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1，0)，D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0，1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1，2)，B错．故选A.
?1＋x?＝1＋x＋1(x≠0)，则f?1?等于( )
7．(2019·河北辛集中学高一月考)若f???2?x2x?x???
A．1 3C. 4
1B. 43D. 2
2
1?1＋（－2）2131＋x1?解析：选C.令＝，可得x＝－2.所以f??＝＝.故选C. 2＋x2（－2）－24?2?8．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A．|f(x)|－g(x)是奇函数 B．|f(x)|＋g(x)是偶函数 C．f(x)－|g(x)|是奇函数 D．f(x)＋|g(x)|是偶函数
解析：选D.根据题意有f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|，所以f(x)＋|g(x)|是偶函数．
同理，易知选项A，B中的函数既不是奇函数也不是偶函数，选项C中的函数是偶函数. 9．已知函数f(x)为偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是( )
A．(0，2) C．(－1，0)
B．(－2，0) D．(1，2)
解析：选A.当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝－x－1. 由f(x－1)＜0得
?x－1＜0，?x－1≥0，??
?或? ??－（x－1）－1＜0（x－1）－1＜0，??
解得0＜x＜1或1≤x＜2，
即0＜x＜2.故选A.
10．已知函数f(x)是R上的增函数，对任意实数a，b，若a＋b＞0，则有( ) A．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b) C．f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)＜f(－a)－f(－b)
解析：选A.因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，
所以f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，所以f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．故选A. 二、填空题
11．已知f(x)在[－3，3]上为奇函数，且f(3)＝－2，则f(－3)＋f(0)＝________． 解析：因为f(x)在[－3，3]上为奇函数， 所以f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)． 因为f(3)＝－2，所以f(－3)＝2， 所以f(－3)＋f(0)＝2，故填2. 答案：2
12．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝________． 解析：由函数y＝f(x)＋x是偶函数， 则f(－2)－2＝f(2)＋2＝3， 所以f(－2)＝5. 答案：5
13．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________．
解析：由
??
f(x)＝|2x＋a|＝?a2x＋a，x≥－，??2
－2x－a，x＜－，2
a可得函数f(x)的单调递增区间为
?－a，＋∞?，所以－a＝3，解得a＝－6. ?2?2??
答案：－6
?1?14．定义在R上的奇函数f(x)，满足f??＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0
?2?
的解集为________．
?1?解析：函数为奇函数，因为f??＝0， ?2?
??1??x＞0，?x＜0，?所以f?－?＝0，不等式xf(x)＞0化为?或?结合函数图象可知
?2??f（x）＞0??f（x）＜0，?
??x＞0，?x＜0，1?1?的解集为0＜x＜，?的解集为－＜x＜0，所以不等式的解集为
2?2?f（x）＞0?f（x）＜0?
??11
?x|0＜x＜或－＜x＜0?.
22??
?1??1?答案：?0，?∪?－，0? ?2??2?
三、解答题
15．已知函数f(x)＝ax＋2(a－1)x＋2.
(1)若f(x)的单调区间为(－∞，4)，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，4)上是减函数，求实数a的取值范围． 1－a1
解：(1)由题意知＝4，解得a＝.
a5
(2)当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，在(－∞，4)上是减函数，所以a＝0满足；
2
a＞0，??
当a≠0时，由题意得?1－a
≥4，??a1
解得0＜a≤. 5
?1?
综上，实数a的取值范围为?a|0≤a≤?.
5??
16．已知函数f(x)＝
2x，x∈[－3，－2]． x＋1
(1)求证：f(x)在[－3，－2]上是增函数； (2)求f(x)的最大值和最小值．
解：(1)证明：设x1，x2是区间[－3，－2]上的任意两个不相等的实数，且x1 2x12x2 － x1＋1x2＋1 2x1（x2＋1）－2x2（x1＋1） （x1＋1）（x2＋1）2（x1－x2） . （x1＋1）（x2＋1） 由于－3≤x1 2x在[－3，－2]上是增函数． x＋1 (2)因为f(－2)＝4，f(－3)＝3， 且f(x)在[－3，－2]上是增函数， 所以函数f(x)的最大值是4，最小值是3. 17．已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x＋3x＋2.若当x∈[1，3]时，n≤f(x)≤m恒成立，求m－n的最小值． 2 ?3?1 解：因为当x＜0时，f(x)＝x＋3x＋2＝?x＋?－，所以当x∈[－3，－1]时， ?2?4 2 2 f(x)min＝f?－?＝－， 2f(x)max＝f(－3)＝2. 因为函数f(x)为奇函数， 1 所以当x∈[1，3]时函数的最小值和最大值分别为－2，， 41 所以m的最小值为，n的最大值为－2. 419 所以(m－n)min＝－(－2)＝， 449 即m－n的最小值为. 4 ?3??? 14 ax2＋1 18．已知函数f(x)＝，若函数f(x)是奇函数，且f(1)＝3，f(2)＝5. bx＋c(1)求函数f(x)的解析式； 5 (2)若g(x)＝3f(x)＋，试证明函数g(x)在(0，1)上是减函数； x?11?(3)若不等式g(x)≤m在?，?上恒成立，求m的取值范围． ?42? ax2＋1 解：(1)因为f(x)＝是奇函数， bx＋c所以f(－x)＝－f(x)． a（－x）2＋1ax2＋1所以＝－. b（－x）＋cbx＋cax2＋1ax2＋1即＝－. －bx＋cbx＋c所以－bx＋c＝－(bx＋c)． ax2＋1所以c＝－c.所以c＝0.所以f(x)＝. bx因为f(1)＝3，f(2)＝5，所以 a＋14a＋173 ＝3，＝5.所以a＝，b＝. b2b22