2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 函数及其性质(强化练)新人教A版必修1

函数及其性质(强化练)

一、选择题

1.下列函数中,与函数y=-2x为同一函数的是( ) A.y=x-2x C.y=-2x

3

33B.y=-x-2x D.y=x2

-2

x 3

解析:选B.函数y=-2x的定义域为(-∞,0],值域为[0,+∞),而y=-2x的定义域为[0,+∞),y=x2

-2

的定义域为(-∞,0),所以排除C,D.

x又y=x-2x中,x≤0,所以y≤0,即值域为(-∞,0],这与函数y=-2x的值域不同,所以排除A.故选B.

??2x,x>0,

2.已知函数f(x)=?若f(α)+f(1)=0,则实数α的值等于( )

?x+1,x≤0.?

3

A.-3 C.1

解析:选A.因为f(1)=2, 所以f(α)=-f(1)=-2,

当x>0时,2x>0,所以α?(0,+∞). 所以α≤0,α+1=-2,得α=-3.

B.-1 D.3

3.(2019·抚顺高一检测)已知函数f(x)的图象恒过点(1,1),则函数f(x-3)的图象恒过( )

A.(4,1) C.(1,-3)

B.(-3,1) D.(1,4)

解析:选A.函数f(x-3)的图象看作函数f(x)的图象向右平移3个单位,函数f(x)的图象恒过点(1,1),则函数f(x-3)的图象恒过点(4,1).

4.如果函数y=x+(1-a)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是( )

A.[5,+∞) C.[9,+∞)

1-a解析:选C.由题得-≥4,a≥9.故选C.

2

5.下列函数中,既是偶函数又在(-3,0)上单调递减的函数是( ) A.y=x C.y=|x|+1

3

2

B.(-∞,-3] D.(-∞,-7]

B.y=-x+1 D.y=x

2

解析:选C.A项为奇函数;B项为偶函数,但在(-3,0)上单调递增,不合题意;C项,函数是偶函数,当x∈(-3,0)时,y=-x+1单调递减,符合题意;D项,函数的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数,不合题意.故选C.

??x+1,x∈[-1,0],

6.已知函数f(x)=?2则函数f(x)的图象是( )

?x+1,x∈(0,1],?

解析:选A.当x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.故选A.

?1+x?=1+x+1(x≠0),则f?1?等于( )

7.(2019·河北辛集中学高一月考)若f???2?x2x?x???

A.1 3C. 4

1B. 43D. 2

2

1?1+(-2)2131+x1?解析:选C.令=,可得x=-2.所以f??==.故选C. 2+x2(-2)-24?2?8.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) A.|f(x)|-g(x)是奇函数 B.|f(x)|+g(x)是偶函数 C.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.f(x)+|g(x)|是偶函数

解析:选D.根据题意有f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),所以f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|,所以f(x)+|g(x)|是偶函数.

同理,易知选项A,B中的函数既不是奇函数也不是偶函数,选项C中的函数是偶函数. 9.已知函数f(x)为偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是( )

A.(0,2) C.(-1,0)

B.(-2,0) D.(1,2)

解析:选A.当x∈(-∞,0)时,f(x)=f(-x)=-x-1. 由f(x-1)<0得

?x-1<0,?x-1≥0,??

?或? ??-(x-1)-1<0(x-1)-1<0,??

解得0<x<1或1≤x<2,

即0<x<2.故选A.

10.已知函数f(x)是R上的增函数,对任意实数a,b,若a+b>0,则有( ) A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b) D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b)

解析:选A.因为a+b>0,所以a>-b,b>-a,

所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).故选A. 二、填空题

11.已知f(x)在[-3,3]上为奇函数,且f(3)=-2,则f(-3)+f(0)=________. 解析:因为f(x)在[-3,3]上为奇函数, 所以f(0)=0,f(-x)=-f(x). 因为f(3)=-2,所以f(-3)=2, 所以f(-3)+f(0)=2,故填2. 答案:2

12.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=________. 解析:由函数y=f(x)+x是偶函数, 则f(-2)-2=f(2)+2=3, 所以f(-2)=5. 答案:5

13.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=________.

解析:由

??

f(x)=|2x+a|=?a2x+a,x≥-,??2

-2x-a,x<-,2

a可得函数f(x)的单调递增区间为

?-a,+∞?,所以-a=3,解得a=-6. ?2?2??

答案:-6

?1?14.定义在R上的奇函数f(x),满足f??=0,且在(0,+∞)上单调递减,则xf(x)>0

?2?

的解集为________.

?1?解析:函数为奇函数,因为f??=0, ?2?

??1??x>0,?x<0,?所以f?-?=0,不等式xf(x)>0化为?或?结合函数图象可知

?2??f(x)>0??f(x)<0,?

??x>0,?x<0,1?1?的解集为0<x<,?的解集为-<x<0,所以不等式的解集为

2?2?f(x)>0?f(x)<0?

??11

?x|0<x<或-<x<0?.

22??

?1??1?答案:?0,?∪?-,0? ?2??2?

三、解答题

15.已知函数f(x)=ax+2(a-1)x+2.

(1)若f(x)的单调区间为(-∞,4),求实数a的值;

(2)若f(x)在区间(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围. 1-a1

解:(1)由题意知=4,解得a=.

a5

(2)当a=0时,f(x)=-2x+2,在(-∞,4)上是减函数,所以a=0满足;

2

a>0,??

当a≠0时,由题意得?1-a

≥4,??a1

解得0<a≤. 5

?1?

综上,实数a的取值范围为?a|0≤a≤?.

5??

16.已知函数f(x)=

2x,x∈[-3,-2]. x+1

(1)求证:f(x)在[-3,-2]上是增函数; (2)求f(x)的最大值和最小值.

解:(1)证明:设x1,x2是区间[-3,-2]上的任意两个不相等的实数,且x1

2x12x2

- x1+1x2+1

2x1(x2+1)-2x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)2(x1-x2)

.

(x1+1)(x2+1)

由于-3≤x1

2x在[-3,-2]上是增函数. x+1

(2)因为f(-2)=4,f(-3)=3,

且f(x)在[-3,-2]上是增函数, 所以函数f(x)的最大值是4,最小值是3.

17.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x+3x+2.若当x∈[1,3]时,n≤f(x)≤m恒成立,求m-n的最小值.

2

?3?1

解:因为当x<0时,f(x)=x+3x+2=?x+?-,所以当x∈[-3,-1]时,

?2?4

2

2

f(x)min=f?-?=-,

2f(x)max=f(-3)=2.

因为函数f(x)为奇函数,

1

所以当x∈[1,3]时函数的最小值和最大值分别为-2,,

41

所以m的最小值为,n的最大值为-2.

419

所以(m-n)min=-(-2)=,

449

即m-n的最小值为.

4

?3???

14

ax2+1

18.已知函数f(x)=,若函数f(x)是奇函数,且f(1)=3,f(2)=5.

bx+c(1)求函数f(x)的解析式;

5

(2)若g(x)=3f(x)+,试证明函数g(x)在(0,1)上是减函数;

x?11?(3)若不等式g(x)≤m在?,?上恒成立,求m的取值范围. ?42?

ax2+1

解:(1)因为f(x)=是奇函数,

bx+c所以f(-x)=-f(x).

a(-x)2+1ax2+1所以=-.

b(-x)+cbx+cax2+1ax2+1即=-. -bx+cbx+c所以-bx+c=-(bx+c).

ax2+1所以c=-c.所以c=0.所以f(x)=. bx因为f(1)=3,f(2)=5,所以

a+14a+173

=3,=5.所以a=,b=. b2b22

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